[논문 리뷰] Coherence and Elicitability

Johanna F. Ziegel|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 07.

Risk and Portfolio Optimization참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 법-불변 성분을 갖는 스펙트럴 리스크 측정치 중에서 유일하게 음의 기대값만이 elicitability를 만족함을 입증한다. 이는 기대손실(Expected Shortfall, ES) 및 기타 스펙트럴 리스크 측정치에 대해 의미 있는 예측 검증이나 추정 방법 비교가 불가능하다는 것을 의미한다. 그러나 논문은 유일하게 elicitability를 만족하는 법-불변 성분을 갖는 일관된 리스크 측정치로 예상값(Expectiles)을 특정하며, 이는 리스크 예측 및 모델 평가에 통계적으로 타당한 대안을 제공한다.

ABSTRACT

The risk of a financial position is usually summarized by a risk measure. As this risk measure has to be estimated from historical data, it is important to be able to verify and compare competing estimation procedures. In statistical decision theory, risk measures for which such verification and comparison is possible, are called elicitable. It is known that quantile based risk measures such as value at risk are elicitable. In this paper we show that law-invariant spectral risk measures such as expected shortfall are not elicitable unless they reduce to minus the expected value. Hence, it is unclear how to perform forecast verification or comparison. However, the class of elicitable law-invariant coherent risk measures does not reduce to minus the expected value. We show that it consists of certain expectiles.

연구 동기 및 목표

• 법-불변 성분을 갖는 일관된 리스크 측정치 중에서 elicitability를 만족하는 것이 무엇인지 규명하여 객관적인 예측 평가 및 모델 비교를 가능하게 한다.
• 특히 기대손실(ES)이 elicitability를 만족하지 않기 때문에 발생하는 리스크 측정 및 역추적 검증의 통계적 과제를 해결한다.
• 일관성과 elicitability를 동시에 만족하는 일관된 리스크 측정치의 클래스를 특정하여 리스크 측정 이론의 핵심적 격차를 메운다.
• 예측 평가를 위한 적절한 점수 함수가 없는 스펙트럴 리스크 측정치(예: ES)의 대안으로 의사결정 이론적으로 타당한 대안을 제공한다.
• 금융 리스크 관리에서 ES의 실용적이고 통계적으로 탄탄한 대안으로서 예상값(Expectiles)을 주장한다.

제안 방법

• Gneiting(2011)의 elicitability 프레임워크를 적용하여 확률 분포 위의 기능으로서의 스펙트럴 리스크 측정치를 분석한다.
• 법-불변 일관된 리스크 측정치의 Kusuoka 표현을 사용하여 그 구조와 elicitability를 특성화한다.
• 볼록 해석학 및 통합 스펙트럼 함수의 성질을 활용하여, 음의 기대값을 제외한 모든 스펙트럴 리스크 측정치가 elicitability를 만족하지 못함을 증명한다.
• 비대칭 최소 제곱 최소화를 통한 정의를 활용하여 예상값(Expectiles)이 elicitability를 만족함을 입증하며, 이는 분위수 회귀 원리와 유사하다.
• Kusuoka 표현에서 예상값의 최소 생성 집합이 유일하며 특정 스펙트럼 함수의 클래스에 대응함을 규명한다.
• 스펙트럼 함수가 0 및 1에서의 행동에 대해 모순 및 극한 추론을 사용하여, 음의 기대값이 아닌 스펙트럴 리스크 측정치에 대해 일관된 점수 함수의 존재하지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 법-불변 일관된 리스크 측정치 중에서 elicitability를 만족하는 것은 무엇이며, 객관적인 예측 검증 및 모델 비교를 가능하게 하는가?
• RQ2 왜 기대손실(ES)은 elicitability를 만족하지 못하며, 리스크 측정 및 역추적 검증에 통계적으로 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 음의 기대값 이외의 어떤 일관된 리스크 측정치도 일관성과 elicitability를 동시에 만족시킬 수 있는가?
• RQ4 예상값(Expectiles)은 일관된 리스크 측정에서 어떤 역할을 하는가? 통계적 성질 측면에서 스펙트럴 리스크 측정치와 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ5 스펙트럴 리스크 측정치의 일관된 예측 평가를 지원하는 의사결정 이론적으로 타당한 대안은 존재하는가?

주요 결과

• 법-불변 스펙트럴 리스크 측정치 중에서 유일하게 elicitability를 만족하는 것은 음의 기대값이며, 이는 기대손실(ES) 및 기타 스펙트럴 리스크 측정치가 모두 elicitability를 만족하지 못함을 의미한다.
• 예상값(Expectiles)은 유일하게 elicitability를 만족하는 법-불변 일관된 리스크 측정치이며, 이는 예측 평가 및 모델 비교에 통계적으로 타당한 기반을 제공한다.
• 예상값의 elicitability는 비대칭 최소 제곱 최소화 문제의 해로서의 정의로부터 직접 유도되며, 분위수 회귀 원리와 유사하다.
• 기대손실(ES)의 elicitability 결여는 서로 경쟁하는 예측의 순위 매기기에 대해 일관된 점수 함수가 존재하지 않음을 의미하며, 이는 객관적인 모델 비교를 약화시킨다.
• Gneiting(2011)의 ES의 non-elicitability 결과를 비퇴화된 모든 스펙트럴 리스크 측정치로 확장하여, 기본적인 통계적 한계를 확인한다.
• 확률적 예측과 적절한 점수 함수는 대안적 해결책을 제공할 수 있지만, 유일하게 스펙트럴 리스크 측정치의 직접적이고 elicitability를 만족하는 대안을 제공하는 것은 예상값(Expectiles)이다.