[논문 리뷰] Coherence and Entanglement Monogamy in the Discrete Analogue of Analog Grover Search

Namit Anand, Arun Kumar Pati|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 연속형 고버 검색 알고리즘의 이산적 유사체인 이산적 고버 검색 알고리즘에서 양자 위상과 얽힘의 단독성(monogamy)을 조사하며, 알고리즘이 최대 성공 확률에 도달할수록 위상이 감소하고, 성공 확률과 동시에 쌍별 얽힘(concurrence)이 최고조화를 이룬다는 것을 보여준다. 이 시스템은 얽힘에 대해 n-편의 단독성 부등식을 만족하여, 검색 과정 중에 양자 상관관계가 중복 없이 큐비트들 사이에 분배된다는 것을 확인한다.

ABSTRACT

Grover's search algorithm is the optimal quantum algorithm that can search an unstructured database quadratically faster than any known classical algorithm. The role of entanglement and correlations in the search algorithm have been studied in great detail and it is known that entanglement between the qubits is necessary to gain a quadratic speedup, for pure state implementation of the Grover search algorithm. Here, we systematically investigate the behavior of quantum coherence and monogamy of entanglement in the discrete analogue of the $ extit{analog analogue of Grover search algorithm}$. The analog analogue of Grover search is a continuous time quantum algorithm based on the adiabatic Hamiltonian evolution that gives a quadratic speedup, similar to the original Grover search algorithm. We show that the decrease of quantum coherence, quantified using various coherence monotones, is a clear signature of attaining the maximum success probability in the analog Grover search. We also show that for any two qubit reduced density matrix of the system, the concurrence evolves in close vicinity to the increasing rate of success probability. Furthermore, we show that the system satisfies a $n$-party monogamy inequality for arbitrary times, hence bounding the amount of $n$-qubit entanglement during the quantum search.

연구 동기 및 목표

• 연속형 고버 검색 알고리즘의 이산적 유사체에서 양자 위상과 얽힘 단독성의 역할을 이해하기 위해.
• 위상과 얽힘의 역학이 검색 과정의 성공 확률과 상관이 있는지 결정하기 위해.
• 알고리즘의 진전 동안 다중편의 얽힘에 대해 단독성 부등식을 만족하는지 조사하기 위해.
• 이차적 속도 향상에 도달하는 시스템에서 위상과 얽힘이 시간에 따라 어떻게 변화하는지 정량화하기 위해.
• 이산적 유사체가 원래 연속형 고버 검색의 핵심 특징, 특히 위상과 얽힘 행동을 유지하는지 확인하기 위해.

제안 방법

• 위상의 양적 측정을 위해 두 개의 단조적 양(monotone)인 $l_1$-노름과 상대 엔트로피 위상도를 사용하였다.
• 연속형 고버 검색 해밀토니안의 이산적 유사체에서 위상과 얽힘(concurrence를 통해)의 진전을 추적하였다.
• 이중 큐비트의 concurrence에 대한 해석적 표현을 유도: $\mathcal{C}('\rho_{AB}') = \frac{1}{\sqrt{N}} \left| \sin{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)} \right|$, 시간에 따라 변하는 쌍별 얽힘을 보여주었다.
• 단독성 점수 $\delta\mathcal{C} = \mathcal{C}(\rho_{A|BC...}) - (n-1)\mathcal{C}(\rho_{AB})$를 정의하여, 시스템이 $n$-편의 단독성 부등식을 만족함을 보였다.
• $N=4$와 $N=32$에 대해 농도와 성공 확률의 시간 진전을 수치적으로 시뮬레이션하였고, 그 역학을 비교하였다.
• 모든 시간 동안 농도와 양자성의 제곱형 타입의 얽힘도 단독성 부등식을 만족함을 검증하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이산적 유사 연속형 고버 검색에서 양자 위상은 어떻게 변화하며, 알고리즘의 성공 확률과 상관이 있는가?
• RQ2 쌍별 얽힘(Concurrence로 측정)은 연속형 고버 검색에서 이차적 속도 향상에 필수적인가, 그리고 성공 확률이 최고조화를 이룰 때 최고조화를 이룰까?
• RQ3 시스템은 얽힘의 단독성을 보이며, 알고리즘의 진전 동안 모든 시간에 대해 단독성 부등식을 만족하는가?
• RQ4 이산적 유사체는 원래 연속형 고버 검색의 위상과 얽힘 역학을 어느 정도 유지하는가?
• RQ5 단독성 점수 $\delta\mathcal{C}$는 해석적으로 유도될 수 있으며, 항상 음수가 아니라는 것을 보여주어, 여러 큐비트 쌍 사이에서 얽힘이 공유되지 않는다는 것을 확인할 수 있는가?

주요 결과

• $l_1$-노름과 상대 엔트로피 위상도는 알고리즘의 진전 동안 단조롭게 감소하며, 이는 최대 위상이 목표 상태에 접근함에 따라 소진된다는 것을 나타낸다.
• 위상 감소율은 성공 확률 증가율과 매우 유사하며, 이는 위상이 알고리즘 성능의 핵심 자원임을 시사한다.
• 어느 두 큐비트 사이의 concurrence는 $\mathcal{C}(\rho_{AB}) = \frac{1}{\sqrt{N}} \left| \sin{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)} \right|$로 진전되며, 성공 확률 증가율과 동시에 최고조화를 이룬다.
• 단독성 점수 $\delta\mathcal{C} = \left( \frac{N-2}{2N} - \frac{1}{N}\log_2{\frac{N}{2}} \right) \sin^2{\left( \frac{2Et}{\sqrt{N}} \right)}$는 모든 시간 동안 음수가 아니며, 이는 시스템이 $n$-편의 단독성 부등식을 만족함을 확인한다.
• 양자성의 제곱형 타입의 얽힘 역시 단독성 부등식을 만족하며, 큐비트들 사이에서 얽힘이 중복 없이 분배됨을 추가로 확인한다.
• 큰 $N$에 대해 쌍별 concurrence는 0으로 수렴하며, 이는 점점 커지는 극한에서 얽힘이 많은 큐비트 쌍들 사이에 분포하지만 여전히 단독성임을 나타낸다.