[논문 리뷰] Coherence for lenses and open games

Jules Hedges|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 07.

Logic, programming, and type systems참고 문헌 18인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 쌍대성의 단위가 없는 쌍대성과 부분적인 대칭 쌍대성(대칭 쌍대성의 부분적 형태)을 갖는 새로운 종류의 대칭 모나드 범주인 '목적론적 범주(teleological categories)'를 소개한다. 이 범주들에 대한 다이어그램 언어에 대해 조건화 정리(coherence theorem)를 수립하여 구성적 게임 이론과 렌즈 이론에서 사용되는 비형식적인 실선 다이어그램 추론을 공리적으로 기반화하며, 개방된 게임의 범주와 다형성 렌즈의 범주가 모두 목적론적 범주임을 증명한다.

ABSTRACT

Categories of polymorphic lenses in computer science, and of open games in compositional game theory, have a curious structure that is reminiscent of compact closed categories, but differs in some crucial ways. Specifically they have a family of morphisms that behave like the counits of a compact closed category, but have no corresponding units; and they have a `partial' duality that behaves like transposition in a compact closed category when it is defined. We axiomatise this structure, which we refer to as a `teleological category'. We precisely define a diagrammatic language suitable for these categories, and prove a coherence theorem for them. This underpins the use of diagrammatic reasoning in compositional game theory, which has previously been used only informally.

연구 동기 및 목표

• 구성적 게임 이론에서 비형식적인 다이어그램적 추론의 배경이 되는 개방된 게임과 다형성 렌즈의 구조적 성질을 공리적으로 정의하기 위해.
• 개방된 게임과 렌즈에서 관찰되는 비대칭적 쌍대성과 부분적 전치(partial transposition)를 포괄하는 새로운 범주 클래스인 '목적론적 범주'를 정의하기 위해.
• 이 범주들에서의 다이어그램 언어에 대해 조건화 정리를 수립하여, 다이어그램의 동치 관계가 범주론적 동치 관계와 정확히 일치함을 보장하기 위해.
• 개방된 게임의 범주와 다형성 렌즈의 범주(렌즈 법칙을 제외한 경우)가 모두 목적론적 범주의 예로써 존재함을 보여주기 위해.
• 향후 개방된 게임의 동치성과 표면 다이어그램(surface diagrams)에 대한 연구에 대한 공리적 기반을 제공하기 위해.

제안 방법

• 쌍대성의 단위가 없는 쌍대성과 전치 유사 연산을 통한 부분적 쌍대성에 기반해, 콪트 코히어런트 범주(compact closed categories)를 일반화하여 목적론적 범주를 공리화하기 위해.
• 개방된 게임 다이어그램에서 영감을 얻어, 한 방향으로만 굽힐 수 있는 실선 다이어그램을 사용하여 목적론적 범주를 위한 다이어그램 언어를 정의하기 위해.
• 서명(signature)에 대해 자유 목적론적 범주를 구성하기 위해 두 단계 과정을 사용: 먼저 모나드 서명을 통해 회로의 범주를 정의하고, 그 다음 $\cong_t$로 표시되는 등가 관계의 집합에 대해 몫을 취하여 조건화를 강제하기 위해.
• 결과적으로 $\cong_t$-등가 관계에 대해 몫을 취한 다이어그램의 범주가 주어진 서명에 대해 자유 목적론적 범주와 동치임을 증명하기 위해.
• 다이어그램의 범주에서 임의의 목적론적 범주로 가는 표준 함자를, 구조적 귀납법과 쌍대성 사상($\varepsilon$)의 외부 자연성(extranaturality)을 이용해, 쌍대성과 쌍대성 사상의 구조를 유지함을 검증하기 위해.
• 자유 범주의 보편 성질을 활용하여, 다이어그램의 범주에서 임의의 목표 목적론적 범주로 가는 함자가 유일함을 증명함으로써, 조건화를 확립하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개방된 게임과 다형성 렌즈가 공유하는 구조적 성질은 무엇이며, 이를 통합된 범주론적 프레임워크로 정당화할 수 있는가?
• RQ2 구성적 게임 이론에서 사용되는 비형식적인 다이어그램적 추론을 범주론적으로 어떻게 공리화할 수 있는가?
• RQ3 부분적 쌍대성과 비대칭 쌍대성 사상을 갖는 범주에 대해, 다이어그램 언어를 조건화하고 잘 정의된 것으로 만들 수 있는가?
• RQ4 개방된 게임 다이어그램에서 관찰되는 '굽힌 실선(bent wire)' 현상의 정확한 범주론적 공리화는 무엇인가?
• RQ5 개방된 게임의 동치성 이론은 어느 정도까지 목적론적 범주의 2차원 언어로 기술될 수 있는가?

주요 결과

• 개방된 게임의 범주는 목적론적 범주임을 증명하여, 구성적 게임 이론에서의 다이어그램적 표현 방식을 공리적으로 정당화한다.
• 렌즈 법칙을 제외한 다형성 렌즈의 범주도 목적론적 범주임을 증명하여, 렌즈 이론과 게임 이론 간의 새로운 연결 고리를 드러낸다.
• 목적론적 범주에 대한 다이어그램 언어는 조건화되어 있다: 두 다이어그램이 같은 사상(모르피즘)을 나타내는 것은 정의된 등가 관계 집합($\cong_t$)에 따라 동치일 때에만 가능하다.
• 조건화 정리는 자유 목적론적 범주에서 목표 목적론적 범주로 가는 함자가 서명의 준동형 사상(signature morphism)이 주어지면 잘 정의되고 유일함을 보장한다.
• 목적론적 범주에서의 쌍대성 사상($\varepsilon$)은 외부 자연성(extranaturality)을 만족하며, 이는 조건화를 증명하고 쌍대성의 구조를 유지하는 데 핵심적이다.
• 이 구성 과정을 통해 렌즈 범주에서의 효과들(모나드 단위로 향하는 사상들)이 계속성(continuations)에 대응함을 보여주며, 렌즈 이론에 대한 새로운 통찰을 제공한다.