[논문 리뷰] Cohesive fracture with irreversibility: quasistatic evolution for a model subject to fatigue

Vito Crismale, Giuliano Lazzaroni외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 08.

Contact Mechanics and Variational Inequalities참고 문헌 36인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 소성 변형에서의 비평형 응력 해석에서 에너지 소산이 균열 개방 점프의 총 변동에 의존하는 점탄성 균열 모델에 대해 준정적 진화의 존재를 확립한다. 이는 비가역성과 작은 진동에 의한 피로 유도 균열을 가능하게 한다. 주요 기여는 점프의 변동에 대한 균일한 제어가 부족한 극한 과정에서의 수렴 문제를 해결하기 위해 청소년 측도를 사용한 약한 공식화를 통해 엄밀한 존재 증명을 수행한 것이다. 이후 이 측도가 점프의 진짜 변동에 집중된다는 것이 입증되어, 기존의 수렴 문제를 해결한다.

ABSTRACT

In this paper we prove the existence of quasistatic evolutions for a cohesive fracture on a prescribed crack surface, in small-strain antiplane elasticity. The main feature of the model is that the density of the energy dissipated in the fracture process depends on the total variation of the amplitude of the jump. Thus, any change in the crack opening entails a loss of energy, until the crack is complete. In particular this implies a fatigue phenomenon, i.e., a complete fracture may be produced by oscillation of small jumps. The first step of the existence proof is the construction of approximate evolutions obtained by solving discrete-time incremental minimum problems. The main difficulty in the passage to the continuous-time limit is that we lack of controls on the variations of the jump of the approximate evolutions. Therefore we resort to a weak formulation where the variation of the jump is replaced by a Young measure. Eventually, after proving the existence in this weak formulation, we improve the result by showing that the Young measure is concentrated on a function and coincides with the variation of the jump of the displacement.

연구 동기 및 목표

• 균열 개방 점프의 총 변동에 의존하는 비가역적 에너지 소산을 갖는 점탄성 균열 모델을 모델링한다.
• 반복적인 소규모 균열 개방이 완전한 균열로 이어지는 피로 현상을 기록한다.
• 표준 콤팩트니스 방법이 점프 변동에 대한 제어 부족으로 실패하는 상황에서 준정적 진화의 존재를 확립한다.
• 연속 시간 극한에서의 수렴 문제를 해결하기 위해 청소년 측도를 사용한 약한 공식화를 개발한다.
• 청소년 측도 해가 진짜 변동에 집중되어 있음을 증명하여 고전적 해로 복원한다.

제안 방법

• 준정적 진화를 근사하기 위해 이산 시간 증분 최소화 문제를 설정한다.
• 점프의 변동을 균일한 유계성이 없는 상황에서 다루기 위해 점프의 변동을 청소년 측도로 대체하는 약한 공식화를 도입한다.
• 소산 함수 g의 구조(비선형성과 비감소성, 유한한 극한)를 활용해 에너지 균형을 제어한다.
• 청소년 측도 이론을 적용하여 연속 시간 극한으로의 전환과 약한 극한을 추출한다.
• 청소년 측도가 함수에 집중되어 있음을 증명하고, 이를 이격된 변위의 총 변동으로 식별한다.
• 점프의 본질적 변동에 대한 미분 항등식을 사용하여 진화의 강한 형태를 복원한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 에너지 소산이 균열 개방 점프의 총 변동에 의존하는 점탄성 균열 모델에 대해 준정적 진화를 구성할 수 있는가?
• RQ2 점프의 변동에 대한 균일한 제어가 없는 이산 근사에서 이러한 진화의 존재를 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ3 피로 현상—반복적인 소규모 진동으로 인한 완전한 균열—은 비가역적 소산을 갖는 변분 모델에서 자연스럽게 발생하는가?
• RQ4 청소년 측도를 사용한 약한 공식화로 진짜 점프 변동을 갖는 고전적 해를 복원할 수 있는가?
• RQ5 이격된 변위와 그 점프에 관해, 극한 진화의 정규성과 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 이격된 변위의 점프에 대한 총 변동에 의존하는 비가역적 소산을 갖는 점탄성 균열 모델에 대해 준정적 진화의 존재가 입증되었다.
• 이산 시간 증분 최소화 문제로부터 유도된 근사 진화는 에너지 균형과 비가역성을 만족한다.
• 점프 변동에 대한 콤팩트니스 부족 문제를 해결하기 위해 청소년 측도를 사용한 약한 공식화를 통해 연속 시간 극한에 도달하였다.
• 청소년 측도가 함수에 집중되어 있음을 증명하였고, 이를 이격된 변위의 점프의 총 변동으로 식별하였다.
• 극한 진화는 평형과 소산 균형의 강한 형태를 만족하며, 변위의 법선 도함수는 소산 잠재력의 하부미분과 일치한다.
• 모델은 피로 현상을 포괄한다: 최대 점프 진폭이 유한한 상황에서도 반복적인 소규모 점프가 완전한 균열을 유도할 수 있다.