[논문 리뷰] Cohomological aspects of non-Kähler manifolds

Daniele Angella|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 03.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 105인용 수 6

한 줄 요약

이 학위논문은 비카르르 복소다양체 및 거의복소다양체 위에서 코homological 불변량—특히 Bott-Chern 및 Aeppli 코homology—을 조사하며, 주로 솔브다양체와 Iwasawa 다양체를 중심으로 다룬다. 논문은 Bott-Chern 코homology를 통해 ∂∂-lemma의 특성화를 수립하고, Iwasawa 다양체와 그 변형에 대한 코homology를 계산하며, R^n 내의 엄격한 p-볼록 영역에서 de Rham 코homology에 대한 퇜력 정리들을 증명한다.

ABSTRACT

In this thesis, we study cohomological properties of non-Kähler manifolds. In particular, we are concerned in investigating the cohomology of compact (almost-)complex manifolds, and of manifolds endowed with special structures, e.g., symplectic structures, D-complex structures in the sense of F. R. Harvey and H. B. Lawson, exhaustion functions satisfying positivity conditions.

연구 동기 및 목표

• 비카르르 복소다양체의 코homological 구조를 이해하기, 특히 카르르 조건이 존재하지 않을 경우에 대해.
• Hodge 이론적 도구를 카르르 기하학을 초월해 확장하기 위해, Bott-Chern 코homology를 활용한 ∂∂-lemma의 특성화.
• Iwasawa 다양체와 그 소규모 변형에 대해 Bott-Chern, Aeppli, Dolbeault, de Rham 코homology를 계산하고 비교하기.
• 복소다양체 및 거의복소다양체의 구조 변형에 따른 코homological 불변량의 행동을 조사하기.
• L2 추정과 Sobolev 정규성 이론을 활용하여 R^n 내 엄격한 p-볼록 영역에서 de Rham 코homology의 퇜력 결과를 수립하기.

제안 방법

• 비카르르 다양체에서 Dolbeault 코homology 대신 더 정교한 불변량으로서 Bott-Chern 및 Aeppli 코homology를 활용한다.
• 가중 L2 공간에서 d 및 d* 방정식의 해를 구하기 위해 L2 추정과 Sobolev 정규성 이론을 적용하여 해의 존재성과 미분 가능성(스무스성)을 증명한다.
• 모리피어 및 근사화 방법을 사용하여 L2 정규성을 더 높은 Sobolev 공간으로 확장함으로써 해의 C∞-정규성을 보장한다.
• 닫힌 범위 정리와 쌍대성을 활용하여 L2 핵상에서 d의 상사상성(전사성)을 증명함으로써 d-방정식의 해법 가능성(해의 존재성)을 확립한다.
• Iwasawa 다양체를 왼쪽으로 불변인 미분형식을 통해 분석하고, 표현 이론과 복소다양체의 변형을 활용하여 코homology를 명시적으로 계산한다.
• 심플렉틱 및 D-복소다양체 이론을 적용하여 솔브다양체 위에서의 코homological 분해를 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 엄격한 복소다양체에서 ∂∂-lemma는 Bott-Chern 코homology 측면에서 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 Iwasawa 다양체와 그 소규모 변형에 대해 Bott-Chern 및 Aeppli 코homology의 차원과 구조는 각각 어떻게 되는가?
• RQ3 복소다양체 및 거의복소다양체의 구조 변형에 따라 코homological 불변량은 어떻게 행동하는가?
• RQ4 C∞-pure-and-full의 구조는 거의복소다양체의 기하학과 어떤 관계가 있는가?
• RQ5 R^n 내 엄격한 p-볼록 영역에서 de Rham 코homology가 차수 k ≥ p 에서 퇄력하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 유한한 복소다양체에서 ∂∂-lemma가 성립하는 것은, Bott-Chern 코호몰로지에서 Dolbeault 코호몰로지로 가는 자연스러운 사상이 동형사상임과 동치이다.
• Iwasawa 다양체의 경우, (1,1) 차수에서 Bott-Chern 코호몰로지의 차원은 10이며, (2,2) 차수에서 Aeppli 코호몰로지의 차원은 12이다.
• Iwasawa 다양체의 de Rham 코호몰로지의 차원은 10이며, 이는 소규모 변형 동안 일정하게 유지된다.
• Iwasawa 다양체의 Dolbeault 코호몰로지의 차원은 (1,0): 1, (0,1): 1, (1,1): 3, (2,1): 1, (1,2): 1, (2,2): 1 이다.
• 엄격한 p-볼록 영역에서 de Rham 코호몰로지가 모든 차수 k ≥ p 에서 퇄력함을 L2 추정과 Sobolev 임bedding을 통해 증명하였다.
• R^n 내 엄격한 p-볼록 영역에서 d-방정식의 해는 반복적인 Sobolev 정규성 향상에 의해 C∞-스무스임을 보였다.