[논문 리뷰] Cohomological Hall algebras for Higgs torsion sheaves, moduli of triples and Hilbert schemes on surfaces

Aliaksandr Minets|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 04.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 40인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 사영 곡선 위의 히긴스 토판층의 스택의 보렐-무어 호모로지 위에 연관 곱을 구성하며, 이가 셔플 표현을 가짐을 증명하고, 일반적인 호모로지 설정에서 충실함을 보인다. 또한 나카지마 퀼러 다양체에서 영감을 얻은 안정 삼중체의 모듈리 공간을 도입하여, 이들의 코homology는 이 대수의 작용을 지닌다. 이는 곡선의 코 tangent bundle 위의 Hilbert 스킴의 코homology에 자연스러운 작용을 유도한다.

ABSTRACT

For any free oriented Borel-Moore homology theory $A$, we construct an associative product on the $A$-theory of the stack of Higgs torsion sheaves over a projective curve $C$. We show that the resulting algebra $A\mathbf{Ha}_C^0$ admits a natural shuffle presentation, and prove it is faithful when $A$ is replaced with the usual Borel-Moore homology groups. We also introduce moduli spaces of stable triples, heavily inspired by Nakajima quiver varieties, whose $A$-theory admits an $A\mathbf{Ha}_C^0$-action. In particular, we obtain an action of $A\mathbf{Ha}_C^0$ on the cohomology of Hilbert schemes of points on $T^*C$.

연구 동기 및 목표

• 사영 곡선 위의 히긴스 토판층의 스택의 보렐-무어 호모로지 위에 새로운 결합 곱을 정의한다.
• 이 대수가 셔플 표현을 가짐을 보이며, 표현 이론에서 알려진 구조를 일반화한다.
• 나카지마 퀄러 다양체에서 영감을 얻은 안정 삼중체의 모듈리 공간을 도입하여, 이 대수의 기하적 실현을 제공한다.
• 히긴스 스킴의 코 tangent bundle 위의 Hilbert 스킴의 코homology에 코homological Hall 대수의 작용을 확립한다.
• 코homological Hall 대수의 프레임워크를 히긴스 층과 관련된 모듈리 공간으로 확장하여 기하적 표현 이론을 풍부히 한다.

제안 방법

• 모든 자유로운 방향성 있는 보렐-무어 호모로지 이론 $A$에 대해 히긴스 토판층의 스택의 $A$-이론 위에 결합 곱을 구성한다.
• 결과로 얻어진 대수 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 가 셔플 표현을 가짐을 보이며, 양자군에서 관찰되는 조합론적 구조를 일반화한다.
• 안정 삼중체의 모듈리 공간을 정의하여, 안정성 조건을 만족하는 일정한 층의 삼중체를 매개하는 기하적 대상으로 간주한다.
• $A\mathbf{Ha}_C^0$ 의 작용을 이 안정 삼중체의 모듈리 공간의 $A$-이론에 정의한다.
• 만약 $A$ 가 일반적인 보렐-무어 호모로지일 경우, 대수 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 가 충실함을 증명하여 표현의 단사성을 보장한다.
• $A\mathbf{Ha}_C^0$ 가 안정 삼중체의 모듈리 공간을 통해 $T^*C$ 위의 점들의 Hilbert 스킴의 코homology에 자연스러운 작용을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사영 곡선 위의 히긴스 토판층의 스택에 대해 코homological Hall 대수를 구성할 수 있으며, 그 구조는 어떠한가?
• RQ2 이 대수가 셔플 표현을 가질 수 있으며, 표현 이론에서 알려진 대수적 구조와의 관계는 무엇인가?
• RQ3 안정 삼중체의 모듈리 공간을 정의하여, 그들의 코homology가 이 대수의 자연스러운 작용을 지닐 수 있는가?
• RQ4 보렐-무어 호모로지로 표현된 코homological Hall 대수가 충실한가?
• RQ5 이 프레임워크는 곡선의 코 tangent bundle 위의 Hilbert 스킴의 코homology에 기하적 작용을 유도하는가?

주요 결과

• 히긴스 토판층의 스택의 $A$-이론 위에 결합 곱이 구성되어 대수 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 를 형성한다.
• $A\mathbf{Ha}_C^0$ 가 자연스러운 셔플 표현을 가지며, 양자군에서 관찰되는 조합론적 구조를 일반화한다.
• $A$ 가 일반적인 보렐-무어 호모로지일 경우, 대수 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 는 충실하여 비퇴화된 표현을 보장한다.
• 안정 삼중체의 모듈리 공간이 도입되며, 이들의 $A$-이론은 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 의 자연스러운 작용을 지닌다.
• 이 작용은 $T^*C$ 위의 점들의 Hilbert 스킴의 코homology에 $A\mathbf{Ha}_C^0$ 의 기하적 작용을 유도한다.
• 이 구성은 히긴스 층과 표면 기하학의 맥락에서 코homological Hall 대수의 새로운 기하적 실현을 제공한다.