[논문 리뷰] Cohomological Hall algebras, their categorification, and their representations via torsion pairs

Duiliu-Emanuel Diaconescu, Mauro Porta외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 18.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 토프로션 쌍과 기울임을 이용한 새로운 프레임워크를 제안하여 전체 코homological Hall 대수(COHAs)와 그 분류화를 구성한다. 이는 오랫동안 지속된 '양의 부분만 생성 가능'한 제약를 극복한다. 안정적인 ∞-카테고리에 토프로션 쌍 (T, F)를 적용하여 T를 토프로션 부분카테고리로, F를 토프로션 자유 부분카테고리로 분해함으로써, COHA는 T에서 구성되고, 그 왼쪽 및 오른쪽 표현은 F에서 유도된다. 이로써 양의 및 음의 연산자를 포함한 전체 대수를 생성할 수 있다. 주요 기여는 표면 위의 층과 안정 쌍의 모듈리 공간의 코homology 위에 아핀 양얀(Affine Yangian) 작용의 분류화와, 나카지마 퀼리 변량 위에서의 2차원 COHA의 분류화이다.

ABSTRACT

In this paper we provide a systematic way of producing representations of cohomological, K-theoretical and categorified Hall algebras, and study the output of our construction in several cases. We thus recover and categorify in a unified framework the action of the COHA of a quiver on the cohomology of Nakajima quiver variety, the action of the COHA of zero-dimensional sheaves on the the cohomology of Hilbert schemes of points and moduli spaces of Gieseker-stable sheaves on smooth surfaces, recovering the constructions of Neguţ and DeHority. We also obtain new examples, associated to Pandharipande-Thomas stable pairs. Along the way, we explain carefully under which conditions one can associate to a pair $(\mathscr{C},τ)$ consisting of a stable $\infty$-category with a t-structure a COHA. This requires a careful analysis and extension of Khan's theory of motivic Borel-Moore homology to the non quasi-compact setting, and it allows to produce new examples of COHAs arising from Bridgeland's stability conditions. The representations that we construct take an extra categorical input: that of a torsion pair $(\mathscr{T},\mathscr{F})$ on the heart $\mathscr{C}^\heartsuit$ of $τ$. Under favorable conditions, the homology of the moduli stack associated to $\mathscr{T}$ acquires a Hall multiplication, that acts both on the left and on the right on the homology of the moduli stack associated to $\mathscr{F}$. The left action generalizes and categorifies Nakajima's positive operators, while the right action corresponds to negative operators.

연구 동기 및 목표

• COHA/KHA 이론에서 오랫동안 지속된 '전체 대수의 양의 부분만 생성 가능'한 제약를 해결하기 위해.
• 퀘일리에서의 제한을 넘어 표면과 같은 기하적 설정으로 양의 전체 대수(예: 양얀)의 구성 확장하기 위해.
• 유도된 카테고리와 모티브 Borel-Moore 호모로지에 의한 COHA 표현의 분류화 제공하기 위해.
• t-구조와 토프로션 쌍을 이용해 기존의 COHA 및 그 표현의 구성들을 통합하고 일반화하기 위해.
• 기존의 알려진 작용, 예를 들어 표면 위의 기이제커 안정 층과 안정 쌍의 모듈리 공간의 코homology 위에 작용하는 아핀 양얀 작용을 복원하고 분류화하기 위해.

제안 방법

• 안정적인 ∞-카테고리 C에 t-구조 τ와 그 하트 C♡에 대한 토프로션 쌍 (T, F)를 적용하여 카테고리를 분해하기 위해.
• 비준비콤���터스터랙처를 가진 스택에 적합한 모티브 Borel-Moore 호모로지 프레임워크를 활용하여 부분카테고리 T에서 COHA(및 그 분류화)를 구성하기 위해.
• 왼쪽 및 오른쪽 COHA 표현을 부분카테고리 F에서 정의하며, 왼쪽 작용은 양의 연산자에 대응하고 오른쪽 작용은 음의 연산자에 대응한다.
• 매끄러운 사영 표면 위의 토프로션 쌍에 이 형식을 적용하여, 기이제커 안정 층의 모듈리 공간의 코homology 위에 아핀 양얀 작용을 복원하기 위해.
• 모디파이드 방법을 사용하여, 모티브 Borel-Moore 호모로지와 판다리파ande-타이플러 안정 쌍의 유도된 모듈리 스택을 활용하여 표면 위의 0차원 층의 COHA 및 CatHA 표현을 구성하기 위해.
• 칸의 모티브 Borel-Moore 호모로지 프레임워크를 활용하고, 비준비콤플렉스 유도 스택으로 확장하여 일반적인 t-구조에서 COHA의 구성이 가능하도록 하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 안정적인 ∞-카테고리에 t-구조와 토프로션 쌍이 주어졌을 때, 전체 코homological Hall 대수(COHA)를 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 표면 위의 기이제커 안정 층의 모듈리 공간의 코homology 위에 아핀 양얀 작용을 토프로션 쌍을 통해 분류화할 수 있는가?
• RQ3 기울임 이론과 플래그 확장은 표준적인 확장 기반 구성 외의 COHA 표현 생성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 비준비콤플렉스 유도 스택에 대해 모티브 Borel-Moore 호모로지를 어떻게 조정하여 COHA 구성에 기여할 수 있는가?
• RQ5 이 프레임워크는 퀼리의 2차원 COHA가 나카지마 퀼리 변량의 코homology 위에 작용하는 것을 복원하고 분류화할 수 있는가?

주요 결과

• 안정적인 ∞-프로카테고리 Cohb_pro(Rep(ΠQ))는 E1-모노이드 구조를 지니며, 이는 퀼리의 2차원 COHA를 실현한다.
• 안정적인 ∞-프로카테고리 Cohb_pro(RepF(ΠQw))는 Cohb_pro(Rep(ΠQ))에 대한 왼쪽 카테고리 모듈러스로 작용하며, 이는 퀀티브 변량 위에서 COHA의 왼쪽 작용을 분류화한다.
• 각 차원 벡터 w∞=1에 대해 스택 RepF(ΠQw; v, 1)는 나카지마 퀀티브 변량 MQ,θ(v, w) 위의 Gm-gerbe이며, MQ,θ(v, w)의 코homology는 COHA 위의 왼쪽 카테고리 모듈러스로 작용한다.
• 모티브 Borel-Moore 호모로지 HD,Γ_0(RepF(ΠQw); A)는 HD,Γ_0(Rep(ΠQ); A)에 대한 왼쪽 모듈러스로 작용하며, 이는 COHA 작용의 모티브적 분류화를 제공한다.
• 이 프레임워크는 표면 위의 기이제커 안정 층의 모듈리 공간의 코homology 위에 아핀 양얀 작용을 복원하며, 유도된 카테고리를 통한 분류화를 제공한다.
• 수정된 구성은 플래그 확장(소스 확장)을 사용하여, 파안다리파ande-타이플러 안정 쌍의 유도된 모듈리 스택의 모티브 Borel-Moore 호모로지를 활용하여 표면 위의 0차원 층의 COHA 및 CatHA 표현을 구성한다.