[논문 리뷰] Cohomological localization for transverse Lie algebra actions on Riemannian foliations

Yi Lin, Reyer Sjamaar|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 23인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 리만 다발 위에서 아벨 리 대수의 횡방향 작용에 대해 코homological localization 정리를 수립하며, 이는 이전 결과를 케일링 다발을 초월하여 확장한다. 국소화된 등변 기본 코homology에서 Borel-Atiyah-Segal 유형의 동형사상과 Atiyah-Bott-Berline-Vergne 스타일의 적분 공식을 증명하고, 횡방향 심플렉틱 다발에 대해 Duistermaat-Heckman 정리를 이끌어낸다.

ABSTRACT

We prove localization and integration formulas for the equivariant basic cohomology of Riemannian foliations. As a corollary we obtain a Duistermaat-Heckman theorem for transversely symplectic foliations.

연구 동기 및 목표

• 케일링 다발을 초월하여 외부 아벨 리 대수 대칭이 리만 다발 위에서 횡방향으로 작용하는 경우에 대해 코homological localization 공식을 확장하는 것.
• Goertsches 등(2014)에서 제기한 문제를 해결함: 횡방향 리 대수 작용의 맥락에서 반대변형 Borel-Atiyah-Segal localization 정리에 대한 열린 문제.
• 리만 다발의 등변 기본 코homology에 대해, 공변형 Atiyah-Bott-Berline-Vergne localization 공식을 수립하는 것.
• 주요 localization 결과의 따름정리로 횡방향 심플렉틱 다발에 대해 Duistermaat-Heckman 정리를 도출하는 것.
• 행동 알제브로이드의 프레임워크를 개발하여 행동 알제브로이드를 일반화하고, 이는 적분 가능하여 향후 비리만 다발에의 응용을 가능하게 하는 것.

제안 방법

• 논문은 다발이 있는 다양체 위에서 아벨 리 대수 작용으로부터 횡방향 행동 리 알제브로이드를 구성하며, 이는 가능하면 비Hausdorff인 리 군oids로 통합된다.
• 이전 연구(Lin과 Sjamaar, 2020)에서 얻은 등변 Thom 동형사상 정리를 적용하여 등변 기본 코homology에서 국소화를 확립한다.
• Borel-Atiyah-Segal 국소화는 국소화된 등변 기본 코homology 환의 국소화 동형사상과 함께 증명되며, 이는 이중 리 대수의 대칭 대칭 대수에서 0을 제외한 부분집합을 사용한다.
• Atiyah-Bott-Berline-Vergne 공식은 고정된 잎 성분들 위에서의 횡방향 적분을 통해 유도되며, 등변 기본 오일러 형식과 등변 오일러 클래스의 역을 포함한다.
• 이 프레임워크는 리만 다발의 모린오 이론에 기반하며, 특히 케일링 다발에서의 중심자층과 그 전역 아벨 구조를 활용한다.
• 저자들은 횡방향 de Rham 복합체와 등변 기본 형식이 등변 미분 $d_{rak{g}}$에 대해 닫혀 있음을 이용하여 코homological 불변량을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 케일링 다발에서의 코homological localization 정리가 리만 다발에 대해 외부 아벨 리 대수 대칭이 횡방향으로 작용하는 경우로 확장될 수 있는가?
• RQ2 리만 다발 위에서 횡방향 리 대수 작용에 대해 국소화된 등변 기본 코homology에서 Borel-Atiyah-Segal 유형의 동형사상이 성립하는가?
• RQ3 이 일반화된 맥락에서 등변 기본 코homology에 대해 Atiyah-Bott-Berline-Vergne 스타일의 적분 공식을 구성할 수 있는가?
• RQ4 횡방향 행동 리 알제브로이드의 구조는 무엇이며, 슬라이스 정리의 실패에도 불구하고 리 군oids로 통합 가능한가?
• RQ5 이 국소화 프레임워크는 횡방향 심플렉틱 다발에 대해 Duistermaat-Heckman 정리를 도출하는가?

주요 결과

• 고정된 잎 다양체 $M^{rak{g}}$ 가 $M$ 에 포함될 때 국소화된 등변 기본 코homology에서 동형사상이 유도된다: $S^{-1}H_{rak{g}}(M,{rak{F}}) \to S^{-1}H_{rak{g}}(M^{rak{g}},{rak{F}})$, 여기서 $S$ 는 곱셈 부분집합 $S\frak{g}^{*} \setminus \{0\}$ 이다.
• Atiyah-Bott-Berline-Vergne 적분 공식이 성립한다: $\fint_M \alpha = \sum_X \fint_X \eta_X^{-1} \wedge i_X^*\alpha$, 여기서 $X$ 는 $M^{rak{g}}$ 의 연결 성분을 빈도로 돌며, $\eta_X$ 는 등변 기본 오일러 형식이며, $\fint$ 은 횡방향 적분을 나타낸다.
• Duistermaat-Heckman 정리는 따름정리로서 도출된다: 등변적으로 닫힌 기본 형식의 횡방향 적분은 고정된 성분들 위에서의 합으로 주어지며, 이는 역 오일러 클래스를 포함한다.
• 횡방향 행동 리 알제브로이드 $\frak{g} \ltimes \frak{F}$ 는 반드시 Hausdorff가 아니더라도 리 군oids로 통합 가능하다는 것이 입증된다. 이는 행동 알제브로이드 구성의 일반화이다.
• 등급이 같은 궤도의 분할 정리가 등변적으로 잎을 가진 리 대수 작용에 대해 수립된다. 이는 슬라이스 정리의 실패에도 불구하고 적절한 군 작용과 유사하다.
• 결과들은 토릭 퀀티포드의 기본 베티 수의 계산을 가능하게 하며, 이는 후속 적용(Lin, 2020, §6)에서 확인된다.