[논문 리뷰] Cohomological rank functions on abelian varieties

Zhi Jiang, Giuseppe Pareschi|arXiv (Cornell University)|2017. 07. 18.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 아벨 다양체 위의 $\mathbb{Q}$--twisted 복합체에 대한 코homological rank 함수를 도입하며, 푸리에-무카이-파오카레 변환 하에서의 전환 공식을 확립한다. 주요 기여는 기하적 불변량 분석을 가능하게 하는 정밀한 딜로지 관계를 제공하며, GV-부분다양체 및 앰플 라인(bundle)의 전역 절단의 곱맵의 상사성에의 응용을 이끌어낸다.

ABSTRACT

Generalizing the continuous rank function of Barja-Pardini-Stoppino, in this paper we consider cohomological rank functions of $\mathbb Q$-twisted (complexes of) coherent sheaves on abelian varieties. They satisfy a natural transformation formula with respect to the Fourier-Mukai-Poincaré transform, which has several consequences. In many concrete geometric contexts these functions provide useful invariants. We illustrate this with two different applications, the first one to GV-subschemes and the second one to multiplication maps of global sections of ample line bundles on abelian varieties.

연구 동기 및 목표

• 바자-파르디니-스토피노의 연속적 랭크 함수를 아벨 다양체 위의 $\mathbb{Q}$-twisted 복합체에 대한 코homological rank 함수로 일반화하기.
• 푸리에-무카이-파오카레 변환 하에서 서로 다른 유리수 토글에 대한 코homological 랭크를 연결하는 전환 공식을 수립하기.
• 유도된 딜로지 관계를 활용하여 GV-부분다양체와 앰플 라인(bundle)의 전역 절단의 곱맵의 상사성을 연구하기.
• 코homological rank 함수가 $\mathbb{R}$로 연속적으로 연장되며, 유리수 점에서 제어 가능한 정규성과 함께 조각다항식임을 증명하기.
• 특히 분할 극화의 경우에 대해 선형선형화의 임계값 $s({\underline{l}})$에 대한 정량적 경계를 유도하기.

제안 방법

• 등장사상 $\mu_b$를 통한 이소지니의 일반화된 코homology 랭크를 이용하여, $x \in \mathbb{Q}$에 대해 $\mathcal{F} \otimes L^x$의 일반적 코homology 랭크를 사용하여 코homological rank 함수 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}(x)$를 정의한다.
• 유사한 전환 공식(정리 2.3)을 수립하여, $x < 0$ 및 $x > 0$일 때 $h^{i}_{\mathcal{F}}(x{\underline{l}})$를 푸리에-무카이 변환 $\varphi_{\underline{l}}^*\Phi_{\mathcal{P}}(\mathcal{F})$의 코homological 랭크와 연결한다.
• 전환 공식을 활용하여, 각 유리수 $x_0$ 근처에서 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$가 최대 차수 $g$의 조각다항식임을 보이며, 힐베르트 다항식으로부터 명시적인 다항식 표현을 도출한다.
• 코homological rank 함수가 $\mathbb{R}_{\geq 0}$로 연속적으로 연장되며, 점 $J^{i+}(\mathcal{F}\langle x_0\rangle)$를 통한 유리수 점에서의 정규성 분석을 수행한다.
• 딜로지 관계를 응용하여 곱맵 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$의 상사성을 증명하며, $h{\underline{l}}$가 기본점이 없는 경우 $\frac{a}{b} > \frac{1}{h-1}$일 때 상사성을 확보한다.
• $\beta({\underline{l}})$를 정상 생성의 임계값으로 정의하고, $h{\underline{l}}$의 임계값에 대한 공식 $s(h{\underline{l}}) = \frac{\beta({\underline{l}})}{h - \beta({\underline{l}})}$를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 코homological rank 함수는 푸리에-무카이-파오카레 변환 하에서 어떻게 행동하며, 그 전환을 지배하는 딜로지 관계는 무엇인가?
• RQ2 유리수 점 $\mathbb{Q}$ 근처에서 코homological rank 함수의 정규성과 조각다항식의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ3 전환 공식은 아벨 다양체 위의 앰플 라인(bundle)의 전역 절단 곱맵의 상사성을 어떻게 결정하는가?
• RQ4 선형선형화의 정확한 임계 임계값 $s({\underline{l}})$는 무엇인가?
• RQ5 일반적이거나 모든 $\alpha$에 대해 곱맵 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$가 상사성을 유지하는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 코homological rank 함수 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$는 $\mathbb{R} \to \mathbb{R}_{\geq 0}$로 연속적으로 연장되며, [BPaSt]에서 제기된 질문을 해결한다.
• 각 $x_0 \in \mathbb{Q}$에 대해 $h^{i}_{\mathcal{F},{\underline{l}}}$는 최대 차수 $g$의 조각다항식이며, 왼쪽과 오른쪽 다항식 $P^{-}_{i,\mathcal{F},x_0}$ 및 $P^{+}_{i,\mathcal{F},x_0}$를 가지며, 두 다항식이 일치할 때에만 $x_0$에서 미분 가능하다.
• 전환 공식은 $x < 0$일 때 $h^{i}_{\mathcal{F}}(x{\underline{l}})$가 $h^{i}_{\varphi_{\underline{l}}^*\Phi_{\mathcal{P}}(\mathcal{F})}(-\frac{1}{x}{\underline{l}})$에 비례하며, 비율은 $\frac{(-x)^g}{\chi({\underline{l}})}$이고, 마찬가지로 $x > 0$일 때도 동일하다.
• $h \geq 2$이면서 $h{\underline{l}}$가 기본점이 없는 경우, 정상 생성의 임계값은 $s(h{\underline{l}}) = \frac{\beta({\underline{l}})}{h - \beta({\underline{l}})}$를 만족하며, ${\underline{l}}$가 기본점을 가진다면 $s(h{\underline{l}}) = \frac{1}{h-1}$이 되는 등식이 성립한다.
• 모든 $\alpha \in \widehat{A}$에 대해 곱맵 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{hab}_\alpha) \to H^0(\mu_b^*L^h \otimes L^{hab}_\alpha)$는 $\frac{a}{b} > \frac{1}{h-1}$일 때 상사적이며, 일반적인 $\alpha$에 대해서는 $\frac{a}{b} \geq \frac{1}{h-1}$일 때 상사성을 유지한다. ${\underline{l}}$가 기본점이 없는 경우, 임계값 $\frac{a}{b} = \frac{1}{h-1}$에서 모든 $\alpha$에 대해 상사성이 유지된다.
• ${\underline{l}}$가 주요 극화인 경우, 임계 맵 $H^0(L^h) \otimes H^0(L^{h(h-1)}_\alpha) \to H^0(\mu_{h-1}^*L^h \otimes L^{h(h-1)}_\alpha)$의 정의역과 치역의 차원이 모두 $(h^2(h-1))^g$로 동일하다.