[논문 리뷰] Cohomological support loci for Abel-Prym curves

Sebastian Casalaina Martin, Martí Lahoz외 1명|ArXiv.org|2008. 02. 25.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 아벨-프림 곡선이 그 프림 다양체에 임bedded된 경우의 코homological support loci와 θ-쌍대 차원을 결정한다. 비초타원적 아벨-프림 곡선이 종수 $\tilde{g} = 2g-1$인 프림 다양체에 포함되어 있을 때, θ-쌍대의 차원은 $g-4$임을 보이며, 외삽된 아이디얼 층 $\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(\Xi)$와 $\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(2\Xi)$의 코homological support loci를 완전히 특성화하여, 코homology 군의 근무 및 비근무를 통해 그 구조를 드러낸다.

ABSTRACT

For an Abel-Prym curve contained in a Prym variety, we determine the cohomological support loci of its twisted ideal sheaves and the dimension of its theta-dual.

연구 동기 및 목표

• 프림 다양체에 임bedded된 아벨-프림 곡선의 θ-쌍대 차원을 결정하는 것.
• 프림 다양체 상에서 $n=1,2$에 대해 $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(n\Xi))$의 코homological support loci를 계산하는 것.
• 일반적인 근무 이론과 푸리에-무카이 변환의 관점에서 지원 집합의 구조를 이해하는 것.
• 아벨-프림 곡선의 외삽된 아이디얼 층에 대한 코homological support loci의 정확한 특성화를 수립하는 것.

제안 방법

• 아벨 다양체 위의 코herent 층에 대한 코homological support loci와 일반적인 근무 이론의 이론을 활용한다.
• 포아앵카르 라인 번들과 함께 푸리에-무카이 변환을 적용하여 코homology 근무 및 비근무를 분석한다.
• θ-쌍대 정의 $V(X) = V^0(\mathcal{I}_X(\Theta))$를 사용하여, 곡선을 포함하는 θ-이동의 집합을 식별한다.
• 곡선 $\widetilde{C}$가 캐논리컬 사상에 의해 $P$에 임bedded되어 있으며, $P$는 극성화 $\Xi$를 가진 주로 극성화된 아벨 다양체임을 이용한다.
• 파레시-파파의 $GV_k$-층과 곡선 위의 선형 계열의 구조에 관한 결과를 적용한다.
• 멈포드의 기수 기법과 포함 관계 다양체를 활용하여 선형 계열의 기저점 없음 및 전성의 성질을 분석한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프림 다양체 내 아벨-프림 곡선의 θ-쌍대 차원은 무엇인가?
• RQ2 코homology 군의 근무 및 비근무에 따라 $i=0,1,2,\geq3$에 대해 $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(\Xi))$의 행동은 어떻게 되는가?
• RQ3 코homology 군의 근무 및 비근무에 따라 $i=0,1,2,\geq3$에 대해 $V^i(\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(2\Xi))$의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ4 제약 사상 $H^0(P', \mathcal{O}_{P'}(2\cdot\Xi^+_E)) \to H^0(\widetilde{C}, \mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2\cdot\Xi^+_E))$가 일반적인 $E \in \Xi^+_E$에 대해 전사일 조건은 무엇인가?
• RQ5 일반적인 $\alpha \in \Xi^+_E$에 대해 곡선 $\widetilde{C}$ 위의 선형 계열 $|E \otimes \alpha|$가 기저점이 없는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 아벨-프림 곡선의 θ-쌍대 $V(\widetilde{C})$는 차원 $g-4$를 가진다.
• $\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(\Xi)$에 대해, $V^0 = V^1 = V(\widetilde{C})$, $V^2 = P$, 그리고 $i \geq 3$일 때 $V^i = \emptyset$이다.
• $\mathcal{I}_{\widetilde{C}}(2\Xi)$에 대해, $g \geq 4$이면 $V^0 = P$, $g = 3$이면 $V^0 = \{0\}$; $V^1 = V^2 = \{0\}$, 그리고 $i \geq 3$일 때 $V^i = \emptyset$이다.
• 일반적인 $E \in \Xi^+_E$에 대해 제약 사상 $H^0(P', \mathcal{O}_{P'}(2\cdot\Xi^+_E)) \to H^0(\widetilde{C}, \mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2\cdot\Xi^+_E))$는 전사이다.
• 일반적인 $\alpha \in \Xi^+_E$에 대해 선형 계열 $|E \otimes \alpha|$는 기저점이 없으며, $h^0(E \otimes \alpha) = 2$이다.
• $\widetilde{g}-1$개의 독립적인 분할 $E_{\alpha,j} + E'_{\alpha,j}$가 $\widetilde{C}$ 위에 존재함을 통해, $\mathcal{O}_{\widetilde{C}}(2E)$의 절단 공간의 차원이 $\tilde{g}-1$임을 보여준다.