[논문 리뷰] Cohomologie p-adique de la tour de Drinfeld: le cas de la dimension 1

Pierre Colmez, Gabriel Dospinescu외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 28.

Advanced Algebra and Geometry인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 드리플레인의 p진 상반평면의 쌍피복에 대한 p진 기하적 에테ール 코homology를 계산하고, 기본 체 $\mathbf{Q}_p$ 에서 이 코homology 가 2차원 de Rham 표현의 p진 국소 랑글랜드 상응관계를 실현함을 보여준다. 핵심 결과는 웰-델리그레 표현과 그 관련 대상들을 포함하는 호모로지 공간의 동형을 통해 코homology와 자크에-랑글랑즈 및 p진 랑글랜드 상응관계 사이의 정밀한 연결을 확립한다.

ABSTRACT

We compute the p-adic geometric étale cohomology of the coverings of Drinfeld's half-plane, and we show that, if the base field is Q_p, this cohomology encodes the p-adic local Langlands correspondence for 2-dimensional de Rham representations (of weight 0 and 1).

연구 동기 및 목표

• 드리플레인의 p진 상반평면의 쌍피복에 대한 p진 기하적 에테ール 코homology의 구조를 이해하는 것.
• 이 코homology 가 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 에 대한 가설적인 p진 국소 랑글랜드 상응관계를 포함하는지 조사하는 것.
• Hodge-Tate 무게 0과 1을 가진 2차원 de Rham 표현에 대해 p진 국소 랑글랜드 상응관계의 기하적 실현을 확립하는 것.
• 에테일 피복에 대한 강체 해석 공간의 p진 코homology의 행동을 탐구하여, 이러한 코homology 가 다루기 어려울 것이라는 기대에 도전하는 것.

제안 방법

• 드리플레인의 상반평면의 무한 피복 $\mathscr{M}_\infty$ 에 대한 p진 기하적 에테ール 코homology 계산.
• 피리odic 기법을 사용하여 피복의 계열의 코homology 분석.
• 콤���트 지지가 있는 de Rham 코homology 를 사용하여 $\mathscr{M}_\infty$ 의 코homological 구조 연구.
• 코homological 실현을 통해 국지적 및 전역적 랑글랜드 상응관계 간의 호환성 수립.
• 연속적 쌍대를 가진 스텐버그 표현을 코homological 구조의 핵심 빌딩 블록으로 사용.
• $\mathrm{GL}_2(F) \times \mathscr{G}_F$ 의 작용을 이용하여 갈루아 표현과 자동형 데이터를 연결하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 드리플레인 타워의 p진 에테ール 코homology 는 $\mathrm{GL}_2(\mathbf{Q}_p)$ 에 대한 p진 국소 랑글랜드 상응관계를 실현하는가?
• RQ2 특히 공접성과 표현론적 구조 측면에서, 드리플레인 상반평면의 에테일 피복의 코homology 는 어떻게 행동하는가?
• RQ3 타워 $\mathscr{M}_\infty$ 의 코homology 는 Hodge-Tate 무게 0과 1을 가진 de Rham 표현에 대해 p진 국소 랑글랜드 상응관계를 기하적으로 구성하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ4 코homology $\mathscr{M}_\infty$ 와 자크에-랑글랑즈 및 p진 랑글랜드 상응관계 사이의 정밀한 관계는 무엇인가?
• RQ5 초기의 다루기 어려움에 대한 기대에 비해 이러한 피복의 코homology 는 얼마나 계산 가능하고 구조적으로 유지되는가?

주요 결과

• 드리플레인의 상반평면 $\Omega_{\mathrm{Dr}}$ 에 대한 p진 기하적 에테ール 코homology 는 $\mathrm{GL}_2(F) \times \mathscr{G}_F$-표현으로서 $\mathbf{Q}_p$ 상의 스텐버그 표현의 연속적 쌍대와 동형이며, 갈루아 작용이 자명하다.
• F = $\mathbf{Q}_p$ 인 경우, 코homology $H^1_{\mathrm{ét}}(\mathscr{M}_\infty, \mathbf{Q}_p(1))$ 는 Hodge-Tate 무게 0과 1을 가진 2차원 de Rham 표현에 대한 p진 국소 랑글랜드 상응관계를 실현한다.
• 표준적 동형 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{W}_{\mathbf{Q}_p}}(V, H^1_{\mathrm{ét}}(\mathscr{M}_\infty, \mathbf{Q}_p(1))) \cong \mathrm{JL}(V) \otimes \Pi(V)^*$ 가 존재하며, 여기서 $\mathrm{JL}(V)$ 는 자크에-랑글랑즈 상승이고 $\Pi(V)^*$ 는 $V$ 의 p진 랑글랜드 쌍대이다.
• 기본 사례에서의 예상과는 달리, 타워 $\mathscr{M}_\infty$ 의 코homology 는 $\mathrm{GL}_2(F)$-표현으로서 공접성이 아니다.
• 코homology 는 고전적 $\ell$-adic 경우를 일반화하는 방식으로 국소 랑글랜드 상응관계를 포함하고 있으나, p진 설정에서 이루어진다.
• 결과는 특정 클래스의 표현에 대해 p진 국소 랑글랜드 상응관계의 기하적 구성법을 제공하며, 강체 해석 기하학과 피리odic 공간을 통한 새로운 시각을 제공한다.