[논문 리뷰] Cohomologies of coherent sheaves and massless spectra in F-theory

Martin Bies|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Black Holes and Theoretical Physics인용 수 8

한 줄 요약

이 박사학위논문은 F-theory compactification에서 비-풀백 선다발의 코herent sheaf 코homology를 계산하기 위한 계산 도구를 개발한다. 이는 GUT 모델에서 페르미온의 카이랄 영모드를 세는 데 핵심적이다. SheafCohomologiesOnToricVarieties라는 gap 패키지에 알고리즘을 구현함으로써, 기존 방법의 주요 한계를 해결하고 토릭 다양체 위에서 코homology 계산을 가능하게 하였으며, 물질 표면 플럭스가 애너멀리티 보존과 관련된 초월환의 관계를 만족함을 발견하였다.

ABSTRACT

In this PhD thesis we investigate the significance of Chow groups for zero mode counting and anomaly cancellation in F-theory vacua. The major part of this thesis focuses on zero mode counting. We explain that elements of Chow group describe a subset of gauge backgrounds and give rise to a line bundle on each matter curve. The sheaf cohomologies of these line bundles are found to encode the chiral and anti-chiral localised zero modes in this compactification. Therefore, it is of prime interest to compute these sheaf cohomologies. Unfortunately, the line bundles in question are in general non-pullback line bundles. In particular, this is the case for the hypercharge flux employed in F-theory models of grand unified theories (GUTs). Consequently, existing methods, such as the cohomCalg-algorithm, cannot be applied. In collaboration with the mathematician Mohamed Barakat, we have therefore implemented algorithms which determine the sheaf cohomologies of all coherent sheaves on toric varieties. These algorithms are provided by the gap-package SheafCohomologiesOnToricVarieties which extends the homalg-project of Mohamed Barakat. We exemplify these algorithms in explicit (toy-)models of F-theory GUTs. As a spin-off of this analysis, we proved that in an entire class of F-theory vacua, the matter surface fluxes satisfy a number of relations in the Chow ring, which we related to anomaly cancellation. Based on this evidence we conjecture that the well-known anomaly cancellation conditions in F-theory - typically phrased as intersections in the cohomology ring - can be extended even to relations in the Chow ring.

연구 동기 및 목표

• F-theory compactification에서 물질 곡선 위의 선다발의 코herent sheaf 코homology를 계산하여 카이랄 및 반카이랄 영모드를 포함한다.
• 기존 방법(예: cohomCalg)의 한계를 극복하기 위해, F-theory GUT에서 흔히 나타나는 비-풀백 선다발에 대해 실패하는 방법을 해결한다.
• 모든 코herent sheaf의 토릭 다양체 위에서의 코herent sheaf 코homology를 계산하기 위한 일반 알고리즘을 개발하고 구현한다.
• F-theory 진공에서 물질 표면 플럭스의 기하학적 및 대수적 구조를 탐구하며, 특히 초월환에서의 관계를 분석한다.
• F-theory에서의 애너멀리티 보존 조건이 코homology 환에서의 표현 외에도 초월환의 관계로 일반화될 수 있는지 조사한다.

제안 방법

• 호모로지 대수 기법을 사용하여 토릭 다양체 위의 코herent sheaf 코homology를 계산하는 알고리즘을 개발한다.
• 이 알고리즘들을 gap 패키지 SheafCohomologiesOnToricVarieties에 구현하여 homalg_project 프레임워크를 확장한다.
• 델리뉴 코homology와 초월환 군을 사용하여 게이지 배경을 분류하고, 물질 곡선에 선다발을 유도한다.
• SU(5)×U(1) 대칭을 가진 구체적인 F-theory GUT 모델에 알고리즘을 적용하며, 비일반적인 물질 곡선을 포함한다.
• 환경 공간에서의 교차 이론과 수직 교차를 사용하여 영모드 수를 계산한다.
• 초월환에서의 플럭스를 분석하여, 애너멀리티 보존 조건을 반영하는 대수적 관계를 식별한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 방법이 실패하는 F-theory GUT 모델에서 비-풀백 선다발의 코herent sheaf 코homology는 어떻게 계산할 수 있는가?
• RQ2 초월환 군은 게이지 배경을 분류하고 물질 곡선에 선다발을 유도하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 F-theory 진공에서의 물질 표면 플럭스는 애너멀리티 보존과 관련된 초월환의 대수적 관계를 만족하는가?
• RQ4 기존에 코homology 환에서 기술되는 F-theory의 표준 애너멀리티 보존 조건은 초월환의 관계로 재구성될 수 있는가?
• RQ5 플럭스가 기저에서의 풀백이 아닌 경우 F-theory에서의 영모드 수 계산의 계산적 구조는 어떠한가?

주요 결과

• 저자는 토릭 다양체 위의 모든 코herent sheaf에 대해 코herent sheaf 코homology를 계산하는 알고리즘을 성공적으로 구현하여, 비-풀백 다발에 대해 cohomCalg의 한계를 극복하였다.
• 물질 곡선에 유도된 초월환 원소로부터 유도된 선다발은 카이랄 및 반카이랄 영모드를 포함하며, 이는 물리적 중요성을 확인한다.
• 넓은 범위의 F-theory 진공에서 물질 표면 플럭스는 애너멀리티 보존 조건과 직접적으로 연결된 초월환에서의 대수적 관계를 만족한다.
• 풀백이 아닌 초전하 플럭스를 가진 F-theory GUT 모델의 경우, 새로운 알고리즘을 사용하여 성공적으로 분석하고 영모드 수를 계산하였다.
• 애너멀리티 보존이 코homology 교차 조건에서부터 초월환의 대수적 관계로 일반화될 수 있음을 강력한 증거로 제시한다.
• SheafCohomologiesOnToricVarieties라는 gap 패키지는 향후 F-theory 모델 구축, 특히 비-풀백 플럭스에 대해 계산 도구로 공개되었다.