[논문 리뷰] Cohomology and deformations of dendriform algebras, and $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras

Apurba Das|arXiv (Cornell University)|2019. 03. 28.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 21인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 계수를 갖는 덴드리포름 대수에 대한 코homology 이론을 수립하여, 변형이 이 코homology에 의해 통제됨을 보이고, 덴드리포름 대수의 호모토피 판본으로서 $π_{∞}$-대수를 도입한다. 또한 $A_{∞}$-대수에서의 로타-백스터 연산자가 자연스럽게 $π_{∞}$-대수의 구조를 유도함을 보이며, 교차 모듈을 통해 스케일링 및 엄격한 $π_{∞}$-대수를 분류함으로써 비결합 대수 이론에서 호모토피와 표현론적 구조를 통합한다.

ABSTRACT

A dendriform algebra is an associative algebra whose product splits into two binary operations and the associativity splits into three new identities. These algebras arise naturally from some combinatorial objects and through Rota-Baxter operators. In this paper, we start by defining cohomology of dendriform algebras with coefficient in a representation. The deformation of a dendriform algebra $A$ is governed by the cohomology of $A$ with coefficient in itself. Next we study $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras (dendriform algebras up to homotopy) in which the dendriform identities hold up to certain homotopy. They are certain splitting of $A_\infty$-algebras. We define Rota-Baxter operator on $A_\infty$-algebras which naturally gives rise to $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras. Finally, we classify skeletal and strict $\mathrm{Dend}_\infty$-algebras.

연구 동기 및 목표

• 문헌에서 빈곤한 상태였던 표현에서 계수를 갖는 덴드리포름 대수에 대한 코homology 이론을 개발한다.
• 덴드리포름 대수의 변형이 이 코homology에 의해 통제됨을 보이며, 게르스텐하버의 변형 이론을 덴드리포름 설정으로 확장한다.
• $π_{\infty}$-대수를 덴드리포름 대수의 호모토피 해석으로 정의하고 연구한다. 이는 $A_{\infty}$-대수의 일반화이다.
• $A_{\infty}$-대수에 로타-백스터 연산자를 정의하고, 그것이 자연스럽게 $π_{\infty}$-대수의 구조를 유도함을 보인다.
• 덴드리포름 대수의 교차 모듈을 사용하여 스케일링 및 엄격한 $π_{\infty}$-대수를 분류한다.

제안 방법

• 집합 $C_n = \{1, \dots, n\}$ 위의 조합적 사상으로 코チェ인 복합체를 도입하고, 표현에서 계수를 갖는 코homology를 정의한다.
• 덴드리포름 대수의 자체 코チェ인 복합체가 승수 없는 옵레라드 구조를 지니며, 곱 연산을 통해 코homology 위에 게르스텐하버 대수의 구조를 유도함을 보인다.
• 비교 정리를 통해 덴드리포름 코homology와 그 기저가 되는 결합 대수의 호크시ลด 코homology 사이의 연결 고리를 확립한다.
• 결합 대수의 보편 공식을 분할하여 덴드리포름 대수의 보편 변형 공식을 구성한다.
• 도대체적으로 덴드리포름 항등식이 호모토피를 통해 성립하는, 등급을 가진 벡터 공간으로서 $π_{\infty}$-대수를 정의한다. 이는 등급 이동된 $π_{\infty}[1]$-대수를 사용한다.
• 자유 이중결합 코대수 $sA$ 위의 제곱이 0이 되고, 차수 $-1$인 코연산자로서 $π_{\infty}$-대수의 구조를 표현함으로써, 코즐 쌍대성 유사 관계를 수립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 계수를 갖는 덴드리포름 대수에 대한 코homology 이론은 어떻게 정의할 수 있으며, 그것이 변형을 어떻게 통제하는가?
• RQ2 덴드리포름 대수의 코homology와 그 기저가 되는 결합 대수의 호크시ลด 코homology 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ3 $A_{\infty}$-대수에 어떻게 로타-백스터 연산자를 도입하여 $π_{\infty}$-대수의 구조를 생성할 수 있는가?
• RQ4 스케일링 및 엄격한 $π_{\infty}$-대수를 분류하는 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ5 $π_{\infty}$-대수의 구조는 자유 이중결합 코대수 위의 코연산자와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 계수를 갖는 덴드리포름 대수의 코homology는 코체인 복합체 위의 옵레라드 곱 연산으로 인해 게르스텐하버 대수의 구조를 지닌다.
• 두 번째 코homology 군은 덴드리포름 대수의 아벨 확장의 동치류를 분류한다.
• 두 번째 코homology 군의 영성은 덴드리포름 대수의 구조의 강성(리기드리티)을 의미한다.
• 유한 차수의 변형은 제3 코homology 군이 영일 경우 다음 차수로 연장될 수 있다.
• $A_{\infty}$-대수에서의 로타-백스터 연산자는 자연스럽게 $π_{\infty}$-대수의 구조를 유도하며, 이는 아구아르의 결과를 호모토피 설정으로 일반화한다.
• 스케일링 및 엄격한 $π_{\infty}$-대수들은 덴드리포름 대수의 교차 모듈을 통해 분류되며, 명시적인 구성 방법이 제시된다.