[논문 리뷰] Cohomology and Deformations of left-symmetric Rinehart Algebras

Abdelkader Ben Hassine, Taoufik Chtioui외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 30.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 좌대칭 Rinehart 대수를 좌대칭 대수와 리-Rinehart 대수의 일반화로 도입하여 그 코homology 이론과 변형 이론을 수립한다. 이는 메우어-카르탕 원소가 좌대칭 Rinehart 대수를 분류하는 계승된 리 대수를 구성하며, 변형이 두 번째 코homology 계열에 의해 제어됨을 보여준다. 또한 $ϴ$-연산자와 니젠하이즈 연산자 간의 관계를 규명하여, 가역 사상과의 복합을 통해 호환 가능한 $ϴ$-연산자가 니젠하이즈 연산자로부터 유도됨을 증명한다.

ABSTRACT

We introduce a notion of left-symmetric Rinehart algebras, which is a generalization of a left-symmetric algebras. The left multiplication gives rise to a representation of the corresponding sub-adjacent Lie-Rinehart algebra. We construct left-symmetric Rinehart algebra from O-operators on Lie-Rinehart algebra. We extensively investigate representations of a left-symmetric Rinehart algebras. Moreover, we study deformations of left-symmetric Rinehart algebras, which is controlled by the second cohomology class in the deformation cohomology. We also give the relationships between O-operators and Nijenhuis operators on left-symmetric Rinehart algebras.

연구 동기 및 목표

• 좌대칭 대수와 리-Rinehart 대수를 일반화하기 위해 새로운 대수적 구조인 좌대칭 Rinehart 대수를 도입한다.
• 좌대칭 Rinehart 대수를 위한 코homology 이론을 개발하고 그 표현 이론을 연구한다.
• 메우어-카르탕 원소가 좌대칭 Rinehart 대수의 구조를 특징짓는 계승된 리 대수를 구성한다.
• 두 번째 코homology 계열에 의해 제어되는 좌대칭 Rinehart 대수의 변형 이론을 수립한다.
• 이 새로운 대수적 프레임워크 내에서 $ϴ$-연산자와 니젠하이즈 연산자 간의 관계를 탐구한다.

제안 방법

• 좌대칭 대수의 일반화로서 대수 $A$의 작용과 호환되는 좌대칭 Rinehart 대수를 정의한다.
• 좌측 곱의 교환자로부터 부하대수인 리-Rinehart 대수를 구성한다.
• 좌대칭 Rinehart 대수의 표현을 정의하고 코 boundary 연산자를 통해 그 코homology를 개발한다.
• 다중 유도자 공간 위에 계승된 리 대수를 구성하며, 그 메우어-카르탕 원소가 좌대칭 Rinehart 대수의 구조를 대응시킨다.
• 형식적 변형을 정의하고, 두 번째 코homology 계열이 변형의 연장에 대한 장애를 제어함을 보여준다.
• 니젠하이즈 연산자를 도입하고, 그들이 임의의 변형을 생성하는 데서의 역할을 규명하며, 가역 사상과의 복합을 통해 호환 가능한 $ϴ$-연산자와의 연결 고리를 설정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 좌대칭 대수는 연관 대수 $A$의 작용을 포함함으로써 새로운 종류의 대수로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 좌대칭 Rinehart 대수의 코homology 이론은 무엇이며, 그 표현과는 어떤 관계가 있는가?
• RQ3 어떻게 계승된 리 대수의 메우어-카르탕 원소가 좌대칭 Rinehart 대수의 구조를 분류하는가?
• RQ4 두 번째 코homology 계열은 좌대칭 Rinehart 대수의 변형을 어떻게 제어하는가?
• RQ5 $ϴ$-연산자와 니젠하이즈 연산자는 좌대칭 Rinehart 대수의 맥락에서 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 좌대칭 Rinehart 대수의 좌측 곱은 부하대수인 리-Rinehart 대수의 표현을 유도한다.
• 좌대칭 Rinehart 대수는 리-Rinehart 대수 위의 $ϴ$-연산자를 특정한 대수적 구성으로 통해 구성할 수 있다.
• 다중 유도자 공간 위에 계승된 리 대수를 구성하였으며, 그 메우어-카르탕 원소는 정확히 좌대칭 Rinehart 대수의 구조를 특징짓는다.
• 좌대칭 Rinehart 대수의 변형은 변형 코homology 복합체의 두 번째 코homology 계열에 의해 제어된다.
• 좌대칭 Rinehart 대수 위의 니젠하이즈 연산자 $N$ 은 임의의 변형을 유도하며, 만약 $T_1$과 $T_2$가 호환 가능한 $ϴ$-연산자이고 $T_2$가 가역이라면 $N = T_1 \nmid T_2^{-1}$ 는 니젠하이즈 연산자이다.
• 만약 $T$가 $ϴ$-연산자이고 $N$이 가역적인 니젠하이즈 연산자이며 $NT$ 또한 $ϴ$-연산자라면, $T$와 $NT$는 호환 가능하며 이는 두 개념 간의 직접적인 연결 고리를 확립한다.