[논문 리뷰] Cohomology of line bundles on compactified Jacobians

D. Arinkin|arXiv (Cornell University)|2007. 05. 02.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 평면적 특이점을 가진 정수적 프로젝티브 곡선 $C$에 대해, 컴actified 잭비안 $\overline{J}$ 가 자가 dualit의 형태를 만족함을 증명한다: $\overline{J}$ 상의 위상적으로 자명한 선다발들은 $C$ 상의 선다발들과 일대일 대응되며, $D^b(J)$ 에서 $D^b(\overline{J})$ 로의 유도된 푸리에-무카이 변환은 완전 충실하다. 주요 결과는 고전적 무카이 dualit 공식을 특이 곡선으로 일반화한다.

ABSTRACT

Let C be an integral projective curve with surficial singularities. We prove that topologically trivial line bundles on the compactified Jacobian of C are in one-to-one correspondence with line bundles on C (the autoduality conjecture), and compute the cohomology of the line bundles. We also show that the natural Fourier-Mukai functor between the derived categories of quasi-coherent sheaves on the Jacobian and on the compactified Jacobian is fully faithful.

연구 동기 및 목표

• 특이점을 가진 평면적 특이점을 가진 곡선 $C$ 의 컴actified 잭비안 $\overline{J}$ 에 대해 자가 dualit의 형태를 확립한다.
• 컴actified 잭비안 $\overline{J}$ 상의 선다발 계수를 가진 코homology 를 계산한다.
• 유도된 카테고리 $J$ 에서 $\overline{J}$ 로의 푸리에-무카이 변환이 완전 충실하다는 것을 보인다.
• 고전적 무카이 dualit 공식 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ 를 특이 케이스로 확장한다.
• 결과들을 히친 피브리케이션과 히긴스 다발 이론의 스펙트럴 곡선과 연결한다.

제안 방법

• 유도된 푸리에-무카이 변환 $\mathfrak{F}: D^b(J) \to D^b(\overline{J})$ 를 정의하기 위해 $J \times \overline{J}$ 상의 피카르 다발 $P$ 를 사용한다.
• 유도된 편미분 $Rp_{1,*}(P)$ 가 $J \times \overline{J}$ 상에서 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ 를 만족함을 증명한다. 이는 고전 공식을 일반화한다.
• 유도된 카테고리 체계를 적용하여 푸리에-무카이 변환이 완전 충실하다는 것을 보인다.
• $C$ 가 정수적이고 평면적 특이점을 가진다는 가정을 통해 $\overline{J}$ 가 기약적이고 잘 정의된 성질을 가짐을 보장한다.
• 히긴스 다발에서의 스펙트럴 곡선 구성 방법을 사용하여 $\overline{J}$ 와 히친 피브리케이션의 섬유를 연결한다.
• 일반화된 가족의 상대 코homology 를 통해 $\overline{J}$ 의 코homology 와 $H^1(C, \mathcal{O}_C)$ 의 외부곱 간의 동형을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 무카이 dualit 공식 $Rp_{1,*}P \simeq \mathcal{O}_\zeta[-g]$ 는 평면적 특이점을 가진 특이 곡선의 컴actified 잭비안으로까지 확장되는가?
• RQ2 곡선 $C$ 가 평면적 특이점을 가질 때, $D^b(J)$ 에서 $D^b(\overline{J})$ 로의 푸리에-무카이 변환이 완전 충실한가?
• RQ3 $J \times \overline{J}$ 상의 피카르 다발이 $\overline{J}$ 상의 위상적으로 자명한 선다발들을 위한 유일한 가족으로서 기능할 수 있는가?
• RQ4 $\overline{J}$ 의 선다발 계수를 가진 코homology 는 $C$ 의 코homology 와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 이러한 결과들은 히친 피브리케이션과 히긴스 다발의 스펙트럴 곡선으로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 유도된 편미분 $Rp_{1,*}P$ 는 $J \times \overline{J}$ 상에서 $\mathcal{O}_\zeta[-g]$ 와 동형이며, 이는 고전적 무카이 공식을 특이 곡선으로 일반화한다.
• 다발 $P$ 를 통해 정의된 푸리에-무카이 변환 $\mathfrak{F}: D^b(J) \to D^b(\overline{J})$ 는 완전 충실하다.
• $\overline{J}$ 상의 위상적으로 자명한 선다발들은 $C$ 상의 선다발들과 일대일 대응되며, 이는 $\overline{J}$ 에 대해 자가 dualit 를 확립한다.
• $\overline{J}$ 상의 선다발 계수를 가진 코homology 는 $H^i(\overline{J}, \mathcal{O}_{\overline{J}}) \simeq \bigwedge^i H^1(C, \mathcal{O}_C)$ 를 만족한다.
• 결과들은 히친 피브리케이션과 호환된다: 정수적 스펙트럴 곡선 $C$ 에 대해 상대 코homology $R^i h_* \mathcal{O}_{\mathcal{H}iggs}$ 는 $\Omega^i_{{\mathcal{SC}urves}^\prime}$ 와 동형이다.
• $R^i h_* \mathcal{O}_{\mathcal{H}iggs} \simeq \Omega^i_{{\mathcal{SC}urves}}$ 의 동형은 Frenkel 과 Teleman 가 보여준 바와 같이 모든 스펙트럴 곡선으로까지 확장되며, 본 논문의 일부 결과를 복원하는 데 사용될 수 있다.