[논문 리뷰] Cohomology of Siegel Varieties with p-adic integral coefficients and Applications

Abdellah Mokrane, Jacques Tilouine|ArXiv.org|2000. 12. 12.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 18인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 잔여 특성 p가 수준과 서로소이고 자연스러운 bound를 초과할 때, Siegel 다양체의 Betti 코hom로지 모듈러스에서 p-진 정수 계수를 가진 경우 비 Eisenstein, 일반적인 극대 아이디얼에서 토판이 발생하지 않음을 증명한다. Galois 표현과 자동형 벡터 번들의 코herent 확장을 사용하여, 이러한 조건 하에서 코호몰로지 모듈러스가 여전히 토판-free임을 증명하며, 이는 L-함수의 특수값과 세일머 그룹에의 응용을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Under the assumption that Galois representations associated to Siegel modular forms exist (it is known only for genus at most 2), we show that the cohomology with p-adic integral coefficients of Siegel Varieties, when localized at a non-Eisenstein maximal ideal of the Hecke algebra, is torsion-free, provided the prime p is large with the respect to the weight of the coefficient system. The proof uses p-adic Hodge theory, the dual BGG complex modulo p in order to compute the Hodge-Tate weights for the mod p cohomology. We apply this result to the construction of Hida p-adic families for symplectic groups and to the first step in the construction of a Taylor-Wiles system for these groups.

연구 동기 및 목표

• GSp(2g)에 관련된 Siegel 다양체의 p-진 정수 계수를 가진 Betti 코호몰로지 모듈러스에서의 토판 존재 문제를 다루기 위해.
• 특정 조건 하에서 p와 수준에 대해 잔여 특성이 소수일 때, Hecke 대수의 비 Eisenstein, 일반적인 극대 아이디얼에서 이러한 토판이 영향을 받지 않음을 보여주기 위해.
• 코호몰로지 모듈러스가 토판-free로 유지되는 조건을 확립하여, L-함수의 특수값과 세일머 그룹에의 응용을 가능하게 하기 위해.
• 주요 결과를 증명하기 위해 자동형 벡터 번들의 코herent 확장과 Galois 표현을 사용하기 위해.
• 심플렉틱 군에 대한 Taylor-Wiles 방법과 호환되는 코호몰로지 프레임워크를 제공하여, 이를 고차원 Siegel 모듈라 형식으로 확장하기 위해.

제안 방법

• GSp(2g)에서 코호몰로지 커피드룰 표현에 관련된 Galois 표현의 존재성과 국소적 성질을 가정하며, 이는 g ≤ 2일 때 유효하다.
• Shimura 다양체의 토로이드적 컴팩티피케이션 위에서 자동형 벡터 번들의 코herent 확장을 정의하여 Z_p 위의 코herent 층을 구성한다.
• Deligne의 존재 정리와 Gauss-Manin 연결을 적용하여 이러한 확장된 층 위에 적절한 연결을 구축한다.
• GSp(2g)의 Langlands 쌍대군으로서의 스피너 군 GSpin_{2g+1}을 사용하여 자동형 표현과 Galois 표현을 연결한다.
• p-작은 무게에 대해 Z_(p) 위에서 G-표현의 분해가 반순환적임을 이용하여 코herent 확장의 존재를 보장한다.
• 자기표현과 Hecke 대수의 작용을 통해 코호몰로지의 아이디포턴트 분해를 이용하여 관련 성분을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 p가 수준과 서로소이고 p > d = g(g+1)/2일 때, GSp(2g)에 관련된 Siegel 다양체의 p-진 정수 계수를 가진 Betti 코호몰로지에서 비 Eisenstein, 일반적인 극대 아이디얼에서 토판이 자유로운 조건은 무엇인가?
• RQ2 토로이드적 컴팩티피케이션 위에서 자동형 벡터 번들의 코herent 확장을 어떻게 사용하여 코호몰로지의 토판을 제어할 수 있는가?
• RQ3 Hecke 대수의 맥락에서 코호몰로지 모듈러스의 토판-free성을 보장하는 데 Galois 표현이 수행하는 역할은 무엇인가?
• RQ4 코호몰로지 무게 w = |λ + ρ|는 Siegel 다양체의 코호몰로지에서 토판의 행동을 예측하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 코herent 코호몰로지와 Betti 코호몰로지의 사용이 인접 L-함수의 특수값과 세일머 그룹 연구에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• p가 수준과 서로소이고 p > d = g(g+1)/2일 때, GSp(2g)에 관련된 Siegel 다양체의 p-진 정수 계수를 가진 Betti 코호몰로지에서 비 Eisenstein, 일반적인 극대 아이디얼에서 토판이 발생하지 않는다.
• 토로이드적 컴팩티피케이션으로의 자동형 벡터 번들 V_λ^∨의 코herent 확장은 O_{X̄}-모듈로서 국소적으로 자유롭고, Q_p로의 기저 변경은 유리수 확장을 복원한다.
• Gauss-Manin 연결은 확장된 자동형 번들 위에 적절한 연결을 유도하며, 이는 Hodge 필터링과의 호환성을 보장한다.
• Hecke 대수의 비 Eisenstein, 일반적인 극대 아이디얼에서 H^d(S_U, V_λ(O))의 코호몰로지 모듈러스는 여전히 토판-free이다.
• 이 구성은 Frobenius 고유값 조건을 만족하는 Galois 표현 ρ_π: Gal(Q̄/Q) → GL_V(O)의 존재성에 의존하며, 이는 g ≤ 2일 때 알려져 있다.
• 이 방법은 Betti 코호몰로지를 통해 인접 L-함수의 특수값, 합동 수, 그리고 인접 세일머 그룹의 크기 간의 관계에의 응용을 가능하게 한다.