[논문 리뷰] Cohomology of split algebras and of trivial extensions

Claude Cibils, Eduardo N. Marcos외 2명|ArXiv.org|2001. 02. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 9인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두측 이상 $M$ 과 부분대수 $A$를 가진 분할 대수 $\Lambda = A \oplus M$ 의 호크시ลด 코homology에 대해 장기 정확열을 수립한다. 이중 복합체와 컵 곱을 사용하여 연결 호모로지 사상의 명시적 기술을 제공하며, 임의의 자명한 확장 $TA$ 에 대해 첫 번째 호크시ลด 코homology 가 항상 0이 아니라는 것을 증명함으로써, 이전의 단순 연결 대수와 변형 이론에 대한 결과를 일반화한다.

ABSTRACT

We consider associative algebras L over a field provided with a direct sum decomposition of a two-sided ideal M and a sub-algebra A - examples are provided by trivial extensions or triangular type matrix algebras. In this relative and split setting we describe a long exact sequence computing the Hochschild cohomology of L. We study the connecting homomorphism using the cup-product and we infer several results, in particular the first Hochschild cohomology group of a trivial extension never vanishes.

연구 동기 및 목표

• 상대 코homology 를 사용하여 분할 대수 $\Lambda = A \oplus M$ 의 호크시ลด 코homology 를 계산하는 것.
• 컵 곱을 통한 장기 정확열 내 연결 호모로지 사상의 분석.
• 모든 자명한 확장 $TA$ 에 대해 $H^1(TA, TA) \neq 0$ 임을 증명하여 단순 연결 대수에 대한 이전 결과를 일반화하는 것.
• 일반적 프레임워크를 적용하여 삼각행렬 대수와 한 점 확장에 대해 알려진 계산 결과를 복원하는 것.

제안 방법

• 총 코homology 가 $H^*(\Lambda, \Lambda)$ 를 계산하는 이중 복합체를 구성하는 것.
• 스펙트럴 시퀀스를 사용하여 $H^*(\Lambda, \Lambda)$ 와 $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$ 를 연결하는 것 ($X = A$ 또는 $M$).
• 만일 $M$ 이 $A$ 위에서 프로젝티브일 경우, 이중 복합체의 $p$-번째 열의 코homology 가 $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$ 와 동형임을 보이는 것.
• $M$ 의 항등형 자기사상과의 컵 곱을 사용하여 연결 호모로지 사상 $\delta^{p,q}$ 를 기술하는 것으로, $\delta^{p,q}(f) = 1_M \smile f$ 를 얻는 것.
• 자명한 확장 $TA = A \oplus DA$ 에 이 프레임워크를 적용하여 $H^1(TA, TA) \cong k \oplus H^1(A, A)$ 를 얻는 것.
• 삼각행렬 대수와 한 점 확장에 특화하여, 일반적 시퀀스를 통해 기존 결과를 복원하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분할 대수 $\Lambda = A \oplus M$ 의 호크시ลด 코homology 는 어떻게 상대 코homology 를 사용하여 계산할 수 있는가?
• RQ2 장기 정확열 내 $H^*(\Lambda, \Lambda)$ 에 대한 연결 호모로지 사상의 정확한 구조는 무엇인가?
• RQ3 자명한 확장 $TA$ 의 첫 번째 호크시ลด 코homology 는 항상 0이 되는가? 그리고 그 분해는 어떻게 되는가?
• RQ4 일반적 프레임워크는 삼각행렬 대수와 한 점 확장에 대해 알려진 결과를 복원할 수 있는가?
• RQ5 컵 곱의 구조는 $H^1(TA, TA)$ 의 0이 아닌 성질에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 자명한 확장 $TA$ 의 첫 번째 호크시ลด 코homology 는 $k \oplus H^1(A, A)$ 와 동형임을 증명하여, 항상 0이 아니라는 것을 보였다.
• 장기 정확열 내 연결 호모로지 사상 $\delta^{n,0}$ 는 $f \in H^n(A, A)$ 에 대해 $\delta^{n,0}(f) = 1_M \smile f$ 로 주어진다.
• 삼각행렬 대수의 경우, 연결 호모로지 사상은 $f \in H^n(A, A)$ 에 대해 $\delta^n f = 1_M \smile f$ 를 만족하고, $g \in H^n(B, B)$ 에 대해 $\delta^n g = (-1)^{n+1} g \smile 1_M$ 를 만족한다.
• 이중 복합체의 열들의 코homology 는 $\mathop{\rm Ext}^*_{A-A}(M^{\otimes_A^p}, X)$ 를 계산하며, 프로젝티브성 조건 하에서 이는 $H^*(\Lambda, X)$ 로 수렴하는 스펙트럴 시퀀스를 유도한다.
• 만일 $M$ 이 제곱이 0인 이상이며 $MX = XM = 0$ 이면, $H^n(\Lambda, X)$ 는 열들의 코homology 의 직합으로 분해된다.
• 결과 $H^1(TA, TA) \neq 0$ 는 자명한 확장가 항상 단순 연결이 아니라는 것을 확인하며, $H^1$ 이 0이면 순환 경로가 없음을 암시하는 추측을 지지한다. 이 비영의 결과는 그 추측에 대한 반례를 배제한다.