[논문 리뷰] Cohomology of topological graphs and Cuntz-Pimsner algebras

Valentin Deaconu, Alexander Kumjian외 1명|ArXiv.org|1999. 01. 22.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 17인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 국소적으로 컴acts한 공간 위의 국소적 위상동형사상과 관련된 군oids의 층 코homology를 계산하고, 이러한 군oids 위의 원판 휘임을 모두 규명하며, 제약 조건이 붙은 군oids C*-대수와 C*-대응관계로부터 구성된 Cuntz-Pimsner 대수 사이에 자연스러운 동형사상을 수립한다. 주요 결과는 군oids Γ(X,σ)의 코homology가 X의 층 코homology와 자연스럽게 동형임을 보여주며, 이는 브라우어 군의 명시적 계산과 함께 군oids C*-대수와 Cuntz-Pimsner 대수 간의 연결 고리를 제공한다.

ABSTRACT

We compute the sheaf cohomology of a groupoid built from a local homeomorphism of a locally compact space $X$. In particular, we identify the twists over this groupoid, and its Brauer group. Our calculations refine those made by Kumjian, Muhly, Renault and Williams in the case $X$ is the path space of a graph, and the local homeomorphism is the shift. We also show how the C*-algebra of a twist may be identified with the Cuntz-Pimsner algebra constructed from a certain C*-correspondence.

연구 동기 및 목표

• 지정된 국소적으로 컴acts한, 두 번 가산적이고 하우스도르프인 공간 X 위의 국소적 위상동형사상 σ로부터 유도된 r-이산 군oids Γ(X,σ)의 층 코homology를 계산하는 것.
• 이전의 브라우어 군 결과를 개선하기 위해, 층 코homology를 활용하여 Γ(X,σ) 위의 원판 휘임을 모두 규명하는 것.
• 제약 조건이 붙은 군oids C*-대수의 휘임과 C*-대응관계로부터 구성된 Cuntz-Pimsner 대수 사이에 자연스러운 동형사상을 수립하는 것.
• 특히 X가 그래프의 경로 공간이고 σ가 이동 사상일 경우에 알려진 결과를 일반화하고 확장하는 것, 특히 브라우어 군의 0화 조건에 초점 맞추기.

제안 방법

• 저자들은 [K3, 3.7]에서 유도된 장기 정렬 수열을 사용하여 군oids Γ(X,σ)의 코homology를 기저 공간 X의 층 코homology와 연결한다.
• 그들은 아벨 군의 층 A 위에 Γ-작용을 정의하고, Γ 위의 코ycle 함수의 n번째 오른쪽 유도 함수가 H^n(X,A)와 자연스럽게 동형임을 보인다.
• 국소적으로 컴acts한 공간 X일 경우, C₀(X) 위의 C*-대응관계 ℓ²(σ)의 구성은 C*(Γ)가 Cuntz-Pimsner 대수로 표현됨을 보여준다.
• Γ 위의 휘임은 X×𝕋로의 확장으로 특징지어지며, 제약 조건이 붙은 군oids C*-대수 C*(Γ;Λ)는 C*(Λ)의 T-불변 부분공간으로 정의된다.
• 휘임을 구성하는 자료를 사용하여 코ycle 조건과 스케일드 프로덕트 구성법을 통해 C*(Γ;Λ)와 Cuntz-Pimsner 대수 사이의 동형사상을 수립한다.
• 스케일드 프로덕트 구성법은 X×G 위의 군oids를 교차곱과 연결시키며, 특히 G=ℝ일 경우 C*-대수와 Cuntz 대수 위의 작용 간의 연결 고리를 제공한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 군oids Γ(X,σ)의 층 코homology는 기저 공간 X의 층 코homology와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 Γ(X,σ) 위의 원판 휘임의 완전한 분류는 무엇이며, 이는 군oids 코hom로의 2-코사이클과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 Γ(X,σ) 위의 휘임에 대응하는 제약 조건이 붙은 군oids C*-대수는 C*-대응관계로부터 구성된 Cuntz-Pimsner 대수와 어떻게 일치하는가?
• RQ4 Γ(X,σ)의 브라우어 군이 언제 0이 되며, 이는 그래프 경로 공간에 대한 기존 결과를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 코사이클 c:X→G를 통한 스케일드 프로덕트 구성법은 곱공간의 군oids C*-대수와 교차곱 간에 어떻게 연결되는가?

주요 결과

• 군oids Γ(X,σ)의 층 A를 계수로 하는 n번째 코homology는 자연스럽게 기저 공간 X의 층 A를 계수로 하는 n번째 층 코homology와 동형이며, 즉 Hⁿ(Γ,A) ≅ Hⁿ(X,A)이다.
• 정수 계수 층 ℤ에 대해, 군oids의 코homology는 H⁰(Γ,ℤ) = ℤ, H¹(Γ,ℤ) = ℤ, H²(Γ,ℤ) = ℤ/(p−q)ℤ이며, k ≥ 3일 때 Hᵏ(Γ,ℤ) = 0이다.
• X가 환류가 없는 그래프의 경로 공간일 경우, H³(Γ,ℤ) = 0 이므로 Γ의 브라우어 군은 0이 된다.
• 휘임 Λ에 대응하는 제약 조건이 붙은 군oids C*-대수 C*(Γ;Λ)는 C*-대응관계 ℓ²(σ)로부터 구성된 Cuntz-Pimsner 대수와 자연스럽게 동형이다.
• c:X→ℝ인 스케일드 프로덕트 구성법의 경우, C*(Γ(X×ℝ,τ))는 교차곱 C*(Γ(X,σ) ×αℝ)와 동형이며, 여기서 작용 α는 αₜ(Sₖ) = e^{itλₖ}Sₖ로 주어진다.
• X = {1,…,n}^ℕ 위의 베르누이 이동에서 c(x) = λₖ일 때 x₁ = k인 경우, C*(Γ(X,σ))는 Cuntz 대수 𝒪ₙ과 동형이며, 이에 대응하는 교차곱은 Kishimoto의 구성의 특수한 경우이다.