[논문 리뷰] Coil-Stretch Transition and the Break Down of Continuum Models

Mohit Bajaj, Matteo Pasquali외 1명|arXiv (Cornell University)|2007. 03. 12.

Rheology and Fluid Dynamics Studies참고 문헌 16인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 원통 주위의 올드로이드-B 유체 시뮬레이션에서의 고웨issen베르거 수 문제(HWNP)가 후류 내 고분자 분자에서 발생하는 코일-스트레치 전이에 기인하며, 무한한 연신 가능성이 있기 때문에 스트레스 성장이 유한하지 않게 되어 발생함을 보여준다. 반면 유한한 연신 가능성을 가진 FENE-P 모형은 유한한 스트레스와 포화된 분자 연장을 보이며, Wi ≈ 1에서 연속체 모형의 수치적 실패를 설명한다.

ABSTRACT

The breakdown of finite element (FEM) computations for the flow of an Oldroyd-B fluid around a cylinder confined between parallel plates, at Weissenberg numbers Wi = O(1), is shown to arise due to a coil-stretch transition experienced by polymer molecules traveling along the centerline in the wake of the cylinder. With increasing Wi, the coil-stretch transition leads to an unbounded growth in the stress maximum in the cylinder wake. Finite element computations for a FENE-P fluid reveal that, although polymer molecules undergo a coil-stretch transition in the cylinder wake, the mean extension of the molecules saturates to a value close to the fully extended length, leading to bounded stresses with increasing Wi. The existence of a coil-stretch transition has been deduced by examining the behavior of ultra-dilute Oldroyd-B and FENE-P fluids. In this case, the solution along the centerline in the cylinder wake can be obtained exactly since the velocity field is uncoupled from the stress and conformation tensor fields. Estimation of the number of finite elements required to achieve convergence reveals the in-feasibility of obtaining solutions for the Oldroyd-B model for Wi > 1.

연구 동기 및 목표

• 고웨issen베르거 수가 높은 경우 점탄성 유동의 유한요소 시뮬레이션에서 수치적 붕괴의 물리적 기원을 조사하는 것.
• 올드로이드-B 모형의 실패가 수학적 특이성인지 고분자 연장의 물리적 불안정성인지 판별하는 것.
• 원통 유동 구성에서 초희석 및 희석 상태의 올드로이드-B 및 FENE-P 유체의 거동를 비교하는 것.
• Wi > 1에서 점탄성 유동에 대한 유한요소 계산의 가능성 평가.
• 거시적 스트레스 특이성과 미시적 고분자 구형 전이 간의 연관성 설정.

제안 방법

• 속도장과 응력장이 분리되어 있는 초희석 올드로이드-B 및 FENE-P 유체 분석을 통해 구성 텐서 방정식의 정확한 해를 도출.
• 유체역학적 결합 없이 구성 텐서를 사용하여 고분자 연장을 추적하고 응력을 계산.
• 원통 후류의 중심선을 따라 구성 텐서 방정식을 수치적으로 해결하여 최대 연장 및 응력 계산.
• 응력 최대치에서 비차원화된 변형률률 λκxx가 0.5의 임계값에 도달하는지 평가.
• Mxx에서 1% 이내 오차를 유지하기 위해 필요한 유한요소 메esh의 정밀도를 추정하여, 올드로이드-B의 경우 Wi 증가에 따라 기하급수적으로 증가함을 확인.
• 증가하는 Wi 값에 따라 올드로이드-B 및 FENE-P 모형 간 응력과 연장 거동 비교.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고분자 분자에서의 코일-스트레치 전이가 Wi ≈ 1에서 올드로이드-B 시뮬레이션의 유한요소 방법 붕괴를 설명할 수 있는가?
• RQ2 왜 FENE-P 시뮬레이션은 고웨issen베르거 수에서 안정성을 유지하는 반면 올드로이드-B 시뮬레이션은 실패하는가?
• RQ3 고분자 연신 가능성이 원통 후류에서 응력의 유한성 결정에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 응력 최대치에서의 비차원화된 변형률률 λκxx가 무한한 응력 성장의 시작과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 초희석 상태에서의 구성 텐서 거동이 희석된, 완전히 결합된 유동에서의 거동을 얼마나 정확히 예측할 수 있는가?

주요 결과

• 초희석 올드로이드-B 유체에서 Wi가 O(1)를 초과함에 따라 λκxx는 0.5에 수렴하며, 이는 Mxx와 σ*xx의 무한한 증가를 유도하고 수치적 실패를 초래한다.
• 올드로이드-B의 경우 Mxx에서 1% 이내 오차를 유지하기 위해 필요한 유한요소 수는 Wi 증가에 따라 기하급수적으로 증가하여 Wi > 1에서는 계산적으로 불가능하다.
• 반면 FENE-P 유체에서는 λκxx = 0.5 근처에서 Mxx와 σ*xx가 급격히 증가하지만 고웨issen베르거 수가 증가함에 따라 포화되고 유한하게 유지되며, 이는 유한한 연장을 가진 물리적 코일-스트레치 전이를 나타낸다.
• λκxx가 0.5에 수렴할 경우 Mxx의 최대치는 유한하지 않게 되며, 이는 올드로이드-B에서는 발생하지만 FENE-P에서는 발생하지 않아, 유한한 연신 가능성이 결정적인 역할을 함을 확인한다.
• 희석된 올드로이드-B 유동에서 λκxx는 Wi ≈ 0.6에서 0.5에 도달하며, 이는 문헌에서 보고된 계산 곤란의 시작 시점과 일치한다.
• 후류 내 물질 요소는 거의 8의 헨크리 변형률을 축적하여 덩어리가 여러 개의 유한요소를 가로질러 퍼지며, 이는 수치적 불안정성에 기여한다.