[논문 리뷰] Coined Quantum Walks as Quantum Markov Chains

Renato Portugal, Etsuo Segawa|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 07.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 10인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 그래프 Γ 위의 일반화된 그로버 코인을 갖는 플립플롭 코인된 양자 산책과 Γ의 분할 그래프 위의 셰지디의 양자 산책 사이의 직접적 동치성을 확립한다. 중간 모델인 와이드 스타일 산책이나 선형 그래프를 거치지 않고, 내부 코인 공간을 분할을 통해 그래프 구조에 통합함으로써 코인된 산책을 셰지디 산책으로 변환하는 구축 가능한 방법을 제시한다. 이는 위상적 변형 없이 직접적인 매핑을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We analyze the equivalence between discrete-time coined quantum walks and Szegedy's quantum walks. We characterize a class of flip-flop coined models with generalized Grover coin on a graph $Γ$ that can be directly converted into Szegedy's model on the subdivision graph of $Γ$ and we describe a method to convert one model into the other. This method improves previous results in literature that need to use the staggered model and the concept of line graph, which are avoided here.

연구 동기 및 목표

• 중간 모델에 의존하지 않고 코인된 양자 산책과 셰지디의 양자 산책 사이의 직접적 동치성을 확립하는 것.
• 코인된 산책과 셰지디 산책을 연결할 때 와이드 스타일 양자 산책 모델과 선형 그래프 구조를 사용할 필요를 제거하는 것.
• 플립플롭 코인된 산책의 일종으로서 일반화된 그로버 코인을 갖는 산책이 분할 그래프 S(Γ) 위의 셰지디 산책과 동치임을 규명하는 것.
• 두 모델 간의 직접적인 변환 방법을 제공함으로써 유니터리 동역학과 힐베르트 공간의 구조를 유지하는 것.

제안 방법

• 다중그래프 Γ 위의 플립플롭 코인된 양자 산책을 유니터리 연산자 U = S C′를 사용해 정의한다. 여기서 S는 이동 연산자이고 C′은 정점별 하위공간에 작용하는 코인 연산자이다.
• 지정된 화살표 A(Γ)와 계산 기저 상태 |v,j⟩ 사이의 전단사 사상 ξ를 도입하여 코인된 산책을 H_A와 동형인 힐베르트 공간 H로 매핑한다. 이때 H_A는 H^{2|E|}와 동형이다.
• 코인된 산책의 힐베르트 공간을 화살표 기반의 힐베르트 공간 H_A로 변환하는 유니터리 변환 V_ξ를 구성한다. 이를 통해 이동 연산자를 V_ξ^{-1} S V_ξ |a⟩ = |ā⟩로 표현할 수 있다.
• 코인된 산책을 분할 그래프 S(Γ)에 통합함으로써 셰지디 모델로 매핑한다. 여기서 힐베르트 공간은 |x,y⟩로 생성되며, x ∈ X, y ∈ Y이며 X, Y는 S(Γ)의 정점들을 이원으로 분할한다.
• 코인 진폭과 간선 상태로부터 전이 행렬 P와 Q를 정의하고, P′^T = Q′임을 보장하며 셰지디 산책에 필요한 확률적 구조를 확인한다.
• 산책의 동역학이 S(Γ)의 간선에 의해 생성되는 부분공간에서 잘 정의되어 있음을 보이며, 나머지 부분공간은 산책이 항등원으로 작용하는 수면 부분공간을 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 그로버 코인을 갖는 플립플롭 코인된 양자 산책이 언제 직접적으로 셰지디 양자 산책으로 매핑될 수 있는가?
• RQ2 와이드 스타일 모델이나 선형 그래프 구조를 사용하지 않고도 코인된 산책과 셰지디 산책 사이의 동치성을 확립할 수 있는가?
• RQ3 그래프가 완전 그래프가 아닐 경우, 셰지디 모델의 힐베르트 공간 차원은 원래 코인된 모델보다 어떻게 비교되는가?
• RQ4 셰지디 모델에서 산책의 동역학이 유니터리이고 잘 정의되기 위한 구조적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 그래프 Γ 위의 일반화된 그로버 코인을 갖는 플립플롭 코인된 양자 산책의 일정한 클래스는 분할 그래프 S(Γ) 위의 셰지디 양자 산책과 동치이다.
• 이 변환 방법은 와이드 스타일 양자 산책 모델과 선형 그래프를 사용하지 않아, 더 직접적이고 개념적으로 단순한 동치성을 제공한다.
• Γ가 완전 그래프가 아닐 경우, S(Γ)의 이원 구조로 인해 동치인 셰지디 산책의 힐베르트 공간은 원래 코인된 산책의 것보다 더 크다.
• 비완전 이원 그래프 위의 셰지디 산책은 산책이 항등원으로 작용하는 수면 부분공간을 갖는다. 이는 매핑 과정에서 유지된다.
• S(Γ)의 간선에 의해 생성되는 부분공간에서의 산책 동역학은 유니터리하며 원래 코인된 산책과 동치이며, 나머지 부분공간은 진화에 기여하지 않는다.
• 코인 공간을 화살표 기반 상태로 매핑하는 유니터리 변환 V_ξ를 통해 동치성이 확립되며, 이는 코인 연산자의 직접적인 변환을 셰지디 전이 행렬로 가능하게 한다.