[논문 리뷰] Cointegrated Density-Valued Linear Processes

Won‐Ki Seo|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 21.

Monetary Policy and Economic Impact참고 문헌 20인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 베이즈 힐버트 공간을 활용하여 밀도값을 갖는 시간열에 대해 코-integrated 선형 프로세스 프레임워크를 개발하며, 전통적인 $L^2$-기반 접근 방식에서의 음수 가능성 문제와 선형성 문제를 해결한다. 이는 I(1) 표현 이론을 수립하고, 흡인 공간 추정을 위한 기능적 단위근 테스트를 적응시켜, 소득 및 임금 밀도에 대한 실증 응용을 통해 1차원 흡인 공간에서 코인테그레이션 존재를 입증한다.

ABSTRACT

In data rich environments we may sometimes deal with time series that are probability density-function valued, such as observations of cross-sectional income distributions over time. To apply the methods of functional time series analysis to such observations, we should first embed them in a linear space in which the essential properties of densities are preserved under addition and scalar multiplication. Bayes Hilbert spaces provide one way to achieve this embedding. In this paper we investigate the use of Bayes Hilbert spaces to model cointegrated density-valued linear processes. We develop an I(1) representation theory for cointegrated linear processes in a Bayes Hilbert space, and adapt existing statistical procedures for estimating the corresponding attractor space to a Bayes Hilbert space setting. We revisit empirical applications involving earnings and wage densities to illustrate the utility of our approach.

연구 동기 및 목표

• 확률 밀도의 비음성과 $L^2(K)$-기반 기능적 시간열 모델에서의 선형 연산 간의 부적합성을 해결하기 위해.
• 비음성 및 정규화된 밀도의 본질적 성질을 덧셈과 스칼라 곱에 대해 유지하면서, 베이즈 힐버트 공간 내 밀도값을 갖는 시간열에 대한 코인테그레이션 이론을 개발하기 위해.
• AR(p) 프로세스에 대해 무한차원 베이즈 힐버트 공간으로 그랜저-요한센 표현 정리를 확장하기 위해.
• 기능적 단위근 테스트 및 흡인 공간 추정 절차를 베이즈 힐버트 공간 설정에 적응시키기 위해.
• 횡단적 소득 및 임금 밀도 시간열을 사용하여 방법을 실증적으로 입증하기 위해.

제안 방법

• 밀도값을 갖는 시간열을 베이즈 힐버트 공간에 통합하여, 밀도를 중심화된 로그비율(clr) 변환을 통해 표현함으로써 선형성과 연산에 대한 닫힘성을 확보한다.
• 베이즈 힐버트 공간에서 그랜저-요한센 표현 정리를 적용하여 I(1) 프로세스를 특성화하고, AR(p) 모델에서 I(1) 해의 필요 및 충분 조건을 도출한다.
• clr-변환된 밀도에 대해 기능적 주성분 분석(FPCA)을 적용하여 흡인 공간을 추정하고, 코인테그레이팅 관계를 식별한다.
• 창 등(2016)의 순차적 기능적 단위근 테스트를 활용하여 흡인 공간의 차원을 결정하며, $R=1,2,\dots,R_{\max}$를 테스트한다.
• clr-변환된 밀도의 주요 고유함수에서 유도된 흡인 공간을 추정하고, $\operatorname{clr}^{-1}$를 통해 원래의 밀도 공간에서 해석하기 위해 역변환한다.
• 주요 코인테그레이팅 벡터 방향으로 정적 평균을 변형하여, 밀도 공간 내 장기 균형 관계를 시각화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비음성과 정규화된 밀도의 성질을 유지하는 기능적 공간에서 밀도값을 갖는 시간열에 대해 코인테그레이션을 의미적으로 정의할 수 있는가?
• RQ2 기본적인 $L^2(K)$ 프레임워크는 비트리비얼한 코인테그레이션된 밀도 프로세스를 허용하는가, 아니면 비음성 제약 조건이 통합 행동과 부적합한가?
• RQ3 밀도값을 갖는 혁신을 가진 AR(p) 프로세스에 대해 그랜저-요한센 표현 정리를 무한차원 베이즈 힐버트 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 코인테그레이션된 밀도값을 갖는 시간열의 흡인 공간의 차원과 구조를 신뢰성 있게 추정할 수 있는 통계 절차는 무엇인가?
• RQ5 밀도값을 갖는 시간열의 장기 균형 관계는 어떻게 실증적으로 시각화하고 해석할 수 있는가?

주요 결과

• 횡단적 소득 밀도 시간열의 흡인 공간은 1차원이다. $R=1$은 5% 유의수준에서 기각되지 않았고, $R=2$는 1% 수준에서 기각되었다.
• 횡단적 임금 밀도 시간열의 흡인 공간 역시 1차원이다. $R=1$은 5% 수준에서 기각되지 않았고, $R=2$는 1% 수준에서 기각되었다.
• clr-변환된 밀도에 대한 FPCA에서 유도된 주요 고유함수는 코인테그레이팅 관계의 주요 변동 모드를 포착하며, 그 $\operatorname{clr}^{-1}$-이미지는 장기 균형의 주요 방향을 정의한다.
• R=1에 대한 기능적 단위근 검정 통계량은 소득의 경우 $\tau_1^T = 0.03638$, 임금의 경우 $0.05174$이며, 모두 임계값 이하로, 1차원 흡인 공간을 지지한다.
• 주요 코인테그레이팅 벡터 방향으로 정적 평균을 변형함으로써 장기 균형 경로가 명확하게 드러나며, 밀도 분포의 형태에 뚜렷한 이동이 관찰된다.
• 베이즈 힐버트 공간의 사용은 선형 연산과 밀도의 비음성 간의 근본적 부적합성을 해결하여, 밀도 시간열의 기능적 시간열에서 타당한 코인테그레이션 분석을 가능하게 한다.