[논문 리뷰] Coisotropic Submanifolds, Leafwise Fixed Points, and Presymplectic Embeddings

Fabian Ziltener|arXiv (Cornell University)|2008. 11. 23.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 기하학적으로 유계인 심플렉틱 다양체의 닫힘 및 정규 coisotropic 부분다양체 위에서 항등원에 가까운 해밀토니안 미분동형사상의 잎새로 고정점의 수에 하한을 설정한다. 호퍼 노름 제어와 플로어 이론적 기법을 사용하여, 이 수는 부분다양체의 $β_2$-베티 수의 합보다 작지 않음을 증명하며, 라그랑주 경우에 대한 체카노프의 결과를 일반화하고, 아르놀드-기벨탈 추측의 coisotropic 판본을 지지한다.

ABSTRACT

Let $(M,ω)$ be a geometrically bounded symplectic manifold, $N\subseteq M$ a closed, regular (i.e. "fibering") coisotropic submanifold, and $ϕ:M o M$ a Hamiltonian diffeomorphism. The main result of this article is that the number of leafwise fixed points of $ϕ$ is bounded below by the sum of the $Z_2$-Betti numbers of $N$, provided that the Hofer distance between $ϕ$ and the identity is small enough and the pair $(N,ϕ)$ is non-degenerate. The bound is optimal if there exists a $Z_2$-perfect Morse function on $N$. A version of the Arnol'd-Givental conjecture for coisotropic submanifolds is also discussed. As an application, I prove a presymplectic non-embedding result.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안 미분동형사상이 닫힘 및 정규 coisotropic 부분다양체 위에서 항등원에 가까울 때, 그 잎새로 고정점의 수에 하한을 설정하기.
• 라그랑주 부분다양체에 대한 체카노프의 결과를 더 넓은 coisotropic 부분다양체의 범주로 일반화하기.
• 위상적 불변량을 사용하여 아르놀드-기벨탈 추측의 coisotropic 판본을 제안하고 지지하기.
• 주요 정리로부터 presymplectic 임bedding 결과를 도출하기.
• 부분다양체 위에 $\mathbb{Z}_2$-perfect 모스 함수가 존재할 경우 하한이 날카로운지 보여주기.

제안 방법

• Isotropic foliation의 피복 구조와 심플렉틱 축소를 통해 coisotropic 문제를 라그랑주 경우로 환원하기.
• Hofer 거리 $d(\varphi, \mathrm{id}) < C$ 를 제어 매개변수로 사용하며, 여기서 $C$ 는 삼중체 $(M,\omega,N)$ 의 최소 면적 $A(M,\omega,N)$ 에 따라 결정된다.
• $\mathbb{Z}_2$-계수 호몰로지의 적용을 통해 $\sum_{i=0}^{\dim N} b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ 를 계산하고, 이를 하한으로 사용하기.
• 쌍 $(N, \varphi)$ 의 비퇴화 조건을 도입하여 교차성과 비퇴화된 고정점 집합을 방지한다.
• 컴actly 지지된 벡터장과 국소 차트에서의 $L^1$-노름 추정을 사용하여 흐름을 제어하고, 이동 제어에 관한 핵심 기술적 보조정리를 증명한다.
• exhaustion 수열 위에서 최대함수의 보렐 가측성을 통해 호퍼 반노름의 잘 정의성을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 해밀토니안 미분동형사상 $\varphi$ 가 coisotropic 부분다양체 $N$ 위에서 항등원에 충분히 가까울 때, 그 잎새로 고정점의 최소 수는 얼마인가?
• RQ2 베티 수와 같은 위상적 불변량을 사용하여 아르놀드-기벨탈 추측을 coisotropic 부분다양체로 확장할 수 있는가?
• RQ3 적절한 조건 하에서 $\sum b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ 에 대한 하한이 날카로운가?
• RQ4 하한이 유지되는 최적의 호퍼 거리 임계값 $C$ 는 무엇이며, 이는 최소 면적 $A(M,\omega,N)$ 와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 결과를 이용하여 presymplectic 기하학에서의 비임베딩 정리를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $d(\varphi, \mathrm{id}) < C$ 이고 $(N, \varphi)$ 가 비퇴화이면, 잎새로 고정점의 수 $|\mathrm{Fix}(\varphi, N)|$ 는 $\sum_{i=0}^{\dim N} b_i(N, \mathbb{Z}_2)$ 보다 작지 않다.
• 부분다양체 위에 $\mathbb{Z}_2$-perfect 모스 함수가 존재할 경우, 이 하한은 날카로운데, 이는 스티엘렐 맨ifold 예제 $V(k,n)$ 에서 확인된다.
• 표준 심플렉틱 형식 $\omega_0$ 를 가진 $M = \mathbb{C}^{k \times n}$, $N = V(k,n)$ 에서 $d(\varphi, \mathrm{id}) < \pi$ 라면, 하한은 $|\mathrm{Fix}(\varphi, V(k,n))| \geq 2^k$ 를 주며, 이는 날카로운 하한이다.
• 최소 면적 $A(\mathbb{C}^{k \times n}, \omega_0, V(k,n)) = \pi$ 이며, 조건 $C \geq A(M,\omega,N)$ 는 날카로운데, $\pi$ 초과로 $C$ 를 증가시키면 결론이 성립하지 않는다.
• 이 결과는 체카노프의 라그랑주 경우 정리의 일반화이며, $\mathrm{codim} N \notin \{0,1,\dim M/2\}$ 인 coisotropic 부분다양체에 대해 $C^1$-근접성이 없이도 첫 번째 하한을 제공한다.
• 응용으로 presymplectic 임베딩 결과가 도출되며, 특정 coisotropic 임베딩이 호퍼 노름 제약 조건 하에서 존재할 수 없음을 보여준다.