[논문 리뷰] Colimits of representable algebra-valued functors

George M. Bergman|arXiv (Cornell University)|2007. 11. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 15인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 한 대수의 다양체에서 다른 대수의 다양체로 향하는 표현 가능 함의 범주가 소(colimit)를 갖는다는 것을 증명하며, 특정 경우에서는 그를 나타내는 코알제브라의 명시적 구성도 제시한다. 주요 기여는 초기 표현 가능 함의 존재를 증명하는 것으로, 이는 소스 및 타겟 다양체가 모두 0항 연산을 갖지 않거나 하나 이상의 유도된 0항 연산을 갖는 경우에만 비자명하다는 점을 드러내며, 이러한 경우에 풍부한 구조적 행동이 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

If C and D are varieties of algebras in the sense of general algebra, then by a representable functor C --> D we understand a functor which, when composed with the forgetful functor D --> Set, gives a representable functor in the classical sense; Freyd showed that these functors are determined by D-coalgebra objects of C. Let Rep(C,D) denote the category of all such functors, a full subcategory of Cat(C,D), opposite to the category of D-coalgebras in C. It is proved that Rep(C,D) has small colimits, and in certain situations, explicit constructions for the representing coalgebras are obtained. In particular, Rep(C,D) always has an initial object. This is shown to be "trivial" unless C and D either both have_no_ zeroary operations, or both have _more_than_one_ derived zeroary operation. In those two cases, the functors in question may have surprisingly opulent structures. It is also shown that every set-valued representable functor on C admits a universal morphism to a D-valued representable functor. Several examples are worked out in detail, and areas for further investigation noted.

연구 동기 및 목표

• 대수의 다양체 사이의 표현 가능 함의 범주에서의 소(colimit) 존재성과 구조를 조사한다.
• 초기 표현 가능 함이 비자명해지는 조건, 특히 소스 및 타겟 다양체의 0항 연산과의 관계를 규명한다.
• 모노이드, 군, 환 등의 특정 경우에서 소(colimit)를 나타내는 코알제브라의 명시적 구성 방법을 제공한다.
• 어느 다양체 C 위에서 정의된 집합 값을 갖는 표현 가능 함의 모든 함은 D-값을 갖는 표현 가능 함의 범주로 유일한 사상으로 올라갈 수 있음을 보여준다.
• 표현 가능 함의 범주의 구조적 성질을 탐구한다. 이는 비동일한 단사-단사 사상과 비단사적 등식자(equalizer)를 포함한다.

제안 방법

• 표현 가능 함과 소스 다양체 내의 코알제브라 사이의 대칭성을 이용하여, 표현 가능 함의 범주는 C 내의 D-코알제브라의 범주와 반대 범주로 동치임을 보인다.
• 코알제브라의 범주에서의 소(colimit)에 관한 일반적인 범주론적 결과를 적용하며, 코알제브라의 범주에서의 소(colimit)가 그 반대 범주에서의 극한에 대응됨을 활용한다.
• 항등식과 항목 대수를 사용하여 다양체를 정의하며, 작동의 차수를 보장하기 위해 고정된 정규 무한 기수를 사용하여 소성의 보장한다.
• 특히 모노이드 및 환의 경우 자유 대수와 몫 구성과 같은 방법으로 유니버설 성질을 통해 소(colimit)의 명시적 표현을 구성한다.
• 자유 모노이드, 군, 아벨 군 위의 텐서 환 등의 구체적 예를 분석하여, 비동일한 단사-단사 사상과 비단사적 등식자(equalizer)와 같은 구조적 현상을 설명한다.
• 기존 문헌([9], [6] 등)의 결과를 활용하여, 이중 그래프를 통한 코알제브라의 특성화와 사상의 성질 검증을 수행한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 대수의 다양체 사이의 초기 표현 가능 함이 언제 비자명하지 않게 되는가?
• RQ2 다양체 C와 D가 어떤 조건을 만족할 경우, 표현 가능 함의 소(colimit)를 나타내는 코알제브라를 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ3 주어진 다양체 D에 대해, 어떤 다양체 C 위의 집합 값을 갖는 표현 가능 함의 모든 함은 D-값을 갖는 표현 가능 함의 범주로 유일하게 올라갈 수 있는가?
• RQ4 표현 가능 함의 범주에서 나타나는 구조적 현상, 예를 들어 동형사상이 아닌 단사-단사 사상은 무엇인가?
• RQ5 표현 가능 함과 코알제브라 사이의 대칭성 하에서, 일대일성과 등식자(equalizer)의 성질은 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• C에서 D로 향하는 표현 가능 함의 범주는 소(colimit)를 가지며, 이러한 소(colimit)는 C 내의 코알제브라에 의해 표현된다.
• 초기 표현 가능 함은 C와 D가 모두 0항 연산을 갖지 않거나, 하나 이상의 유도된 0항 연산을 갖는 경우에만 비자명하다.
• 비자명한 경우, 표현 가능 함은 놀랍도록 풍부하고 복잡한 구조를 띌 수 있다.
• 자유 모노이드, 군, 아벨 군 위의 텐서 환과 같은 핵심 예시에 대해 표현 코알제브라의 명시적 구성이 이루어졌다.
• 단사이자 단사일 수는 있지만 동형사상이 아닌 코알제브라의 사상이 존재하며, 이는 코알제브라의 범주에서의 비자명한 행동을 보여준다.
• C 내의 D-코알제브라의 범주에서의 등식자(equalizer)는 아벨 군의 범주에서 등식자일지라도 기저 집합 상에서 단사적이지 않을 수 있다.