[논문 리뷰] Collapsing behavior of Ricci-flat Kahler metrics and long time solutions of the Kahler-Ricci flow

Jian Song, Gang Tian외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 17.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 45인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 캐논컬 모델 위의 섬유 근처에서 균일한 리치 곡률 유계 조건이 성립할 때, 준가장소적 캐논컬 번들의 가속화된 켈러-리치 흐름에 대한 장기 해에 대해 균일한 지름 유계를 확립한다. 카우다르 차원이 1이고 일반 섬유가 복소 토러스인 경우, 켈러-리치 흐름이 그로모프-하우스도르프 수렴성을 보이며, 캘라비-양 다발의 리치-평탄한 켈러 메트릭의 붕괴한 극한이 기저의 정상 부분에서의 왜곡된 켈러-아인슈타인 메트릭의 유일한 메트릭 완비화와 위상동형임을 보여준다.

ABSTRACT

We prove a uniform diameter bound for long time solutions of the normalized Kahler-Ricci flow on an $n$-dimensional projective manifold $X$ with semi-ample canonical bundle under the assumption that the Ricci curvature is uniformly bounded for all time in a fixed domain containing a fibre of $X$ over its canonical model $X_{can}$. This assumption on the Ricci curvature always holds when the Kodaira dimension of $X$ is $n$, $n-1$ or when the general fibre of $X$ over its canonical model is a complex torus. In particular, the normalized Kahler-Ricci flow converges in Gromov-Hausdorff topolopy to its canonical model when $X$ has Kodaira dimension $1$ with $K_X$ being semi-ample and the general fibre of $X$ over its canonical model being a complex torus. We also prove the Gromov-Hausdorff limit of collapsing Ricci-flat Kahler metrics on a holomorphically fibred Calabi-Yau manifold is unique and is homeomorphic to the metric completion of the corresponding twisted Kahler-Einstein metric on the regular part of its base.

연구 동기 및 목표

• 준가장소적 캐논컬 번들을 가진 프로젝티브 다양체에서의 가속화된 켈러-리치 흐름에 대한 장기 해에 대해 균일한 지름 유계를 확립하기.
• 카우다르 차원이 1이고 일반 섬유가 복소 토러스인 경우, 흐름이 그로모프-하우스도르프 위상에서 캐논컬 모델로 수렴함을 증명하기.
• 해석적 최소 모델 프로그램을 확장하기 위해, 켈러-리치 흐름 하에서 특이점 형성과 메트릭 붕괴를 분석하기.

제안 방법

• n차원 프로젝티브 다양체 X에서 준가장소적 캐논컬 번들을 가진 가속화된 켈러-리치 흐름을 고려하며, 이는 ∂g/∂t = -Ric(g) - g로 정의된다.
• 켈러 포텐셜 φ와 그 시간 도함수 ∂φ/∂t에 대해 균일한 L∞ 추정을 적용하여 체적 형식 ω(t)^n ≤ C e^{-(n-1)t} Ω를 제어한다.
• 특이 섬유 외부에서 균일하게 유계된 리치 곡률 조건이 존재할 때의 상대 체적 비교를 활용하여 캐논컬 모델 위의 섬유에 대한 지름 추정을 유도한다.
• 흐름 g(t)가 캐논컬 모델 X_can^∘의 정상 부분에서 왜곡된 켈러-아인슈타인 메트릭 g_can으로 수렴함을 이용하며, Ric(ω_can) = -ω_can + ω_WP이다.
• 메트릭 완비화 기법을 적용하여 (X_can^∘, g_can)의 완비화가 프로젝티브 다양체 X_can과 위상동형임을 보인다.
• X_can^∘, g_can의 지오데식 볼록성과 g(t)가 특이 섬유 외부에서 균일하게 g_can으로 수렴함을 조합하여 섬유의 지름과 전반적 지름 유계를 제어한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 준가장소적 캐논컬 번들을 가진 프로젝티브 다양체에서의 가속화된 켈러-리치 흐름이 장기 해에 대해 균일한 지름 유계를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 카우다르 차원이 1이고 토러스 섬유를 가진 다양체에서 흐름이 그로모프-하우스도르프 위상에서 캐논컬 모델로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 해석적으로 섬유화된 캘라비-양 다발에서 리치-평탄한 켈러 메트릭의 붕괴한 극한의 구조는 어떠한가?
• RQ4 캐논컬 모델의 정상 부분에서의 왜곡된 켈러-아인슈타인 메트릭의 메트릭 완비화는 캐논컬 모델 자체와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 고정된 도메인 안에 캐논컬 모델 위의 섬유를 포함하는 영역에서 리치 곡률이 균일하게 유계일 경우, 준가장소적 캐논컬 번들을 가진 프로젝티브 다양체에서의 가속화된 켈러-리치 흐름에 대한 장기 해에 대해 균일한 지름 유계가 확립된다.
• 카우다르 차원이 1이고 일반 섬유가 복소 토러스인 경우, 가속화된 켈러-리치 흐름은 그로모프-하우스도르프 위상에서 캐논컬 모델로 수렴한다.
• 해석적으로 섬유화된 캘라비-양 다발에서 리치-평탄한 켈러 메트릭의 붕괴한 극한은 유일하며, 기저의 정상 부분에서의 왜곡된 켈러-아인슈타인 메트릭의 메트릭 완비화와 위상동형이다.
• X_can^∘에서의 왜곡된 켈러-아인슈타인 메트릭의 메트릭 완비화는 프로젝티브 다양체 X_can과 위상동형이며, 이는 해석적 최소 모델 프로그램의 핵심 예측을 확인한다.
• 모든 ε > 0에 대해, δ > 0과 T > 0이 존재하여, 모든 t ≥ T에 대해 캐논컬 분할에 의한 특이점 근처의 δ-공의 원상의 지름이 ε 이하가 된다.
• 정상 점 위의 섬유의 지름은 t → ∞일 때 균일하게 0으로 수렴하며, 흐름은 특이 섬유 외부에서 C^0 수렴성을 보인다.