[논문 리뷰] Collatz Cycles and $3n+c$ Cycles

Darrell Cox, Sourangshu Ghosh외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 11.

Benford’s Law and Fraud Detection참고 문헌 5인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 콜라츠 문제에서 3n + c 순환을 바닥 함수와 유효 함수로부터 유도된 성질 벡터를 사용하여 분석하며, 순환 내 최소 및 최대 홀수 원소를 규명한다. 이들 극단적 원소가 같은 순환에 속해 있음을 보여주며, 이는 두 개의 선형 합동식에 의해 바닥 및 유효 함수로부터 생성된 성질 벡터 간의 회전 기반 대응 관계를 가능하게 한다. 또한, 한 합동식에 의해 생성된 자연수의 통계적 성질이 리만 제타 함수의 비자명한 영점들과 유사함을 드러낸다.

ABSTRACT

Halbeisen and Hungerbuhler determined optimal bounds for the length of rational Collatz cycles. Their methods are extended to $3n+c$ cycles. Another sequence having properties similar to those of Riemann zeta function zeros is introduced.

연구 동기 및 목표

• 홀수 c 중 3으로 나누어떨어지지 않는 경우에 대한 3n + c 순환의 구조를 규명함으로써 고전적 콜라츠 추측의 결과를 확장한다.
• 바닥 함수와 유효 함수로부터 생성된 성질 벡터를 사용하여 3n + c 순환 내 최소 및 최대 홀수 원소를 식별한다.
• 두 개의 선형 합동식에 의해 지배되는 두 성질 벡터 간의 순환 기반 대응 관계를 수립한다.
• 한 합동식에 의해 생성된 자연수의 통계 분포를 조사하고, 리만 제타 함수의 영점 분포와 비교한다.
• 순환의 원시성, 부분벡터 반복성, 그리고 간단한 순환(예: c = -1 또는 c = 1)으로의 축소 가능성 간의 관계를 탐색한다.

제안 방법

• 순환 내 최대 홀수 원소에 대해 바닥 함수를 사용하여 성질 벡터를 생성하고, 최소 홀수 원소에 대해 유효 함수를 사용한다.
• 최소 홀수 원소 M_{l,n}을 계산하기 위해 함수 ϕ(s) = ∑_{j=1}^{l} (⌈jn/l⌉ - ⌈(j-1)n/l⌉) · 2^{j-1} · 3^{n - ⌈jn/l⌉} 를 적용한다.
• 순환 내 최대 홀수 원소의 상한으로 N_{l,n} = 2M_{l,n} - ∑_{i=0}^{r-1} 2^i(l/r) · 3^{n-1-i(n/r)} 를 정의한다.
• 바닥 함수로부터 생성된 성질 벡터의 회전을 통해 유효 함수로부터 생성된 벡터와 일치시킴으로써, M_{l,n}과 N_{l,n}이 같은 순환에 속해 있음을 암시한다.
• n−x 및 제타 함수 영점에서 유도된 수열에 모비우스 함수의 콘볼루션을 적용하여 정규성 및 통계적 유사성을 검증한다.
• 최소 제곱법을 사용하여 소수 l에 대해 성질 벡터 기저의 기저 원소 수와 소인수 개수를 모델링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3n + c 순환 내 최소 및 최대 홀수 원소는 항상 같은 순환에 속해 있으며, 이에 대응하는 성질 벡터가 서로 회전을 통해 일치할 수 있는가?
• RQ2 최소 홀수 원소 M_{l,n}과 관련된 선형 합동식에 의해 생성된 자연수의 통계적 행동은 어떻게 되며, 리만 제타 함수 영점의 분포와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 특히 부분벡터 반복성과 gcd(l,n)을 포함한 성질 벡터의 성질이 3n + c 순환의 원시성 및 축소 가능성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 n−x 또는 제타 영점에서 유도된 수열을 모비우스 함수와 콘볼루션하여 정규 분포를 띠는 차이를 얻을 수 있으며, 이는 어떤 수열의 구조적 특성에 의미하는가?
• RQ5 성질 벡터 기저의 원소 수와 소수 l 사이의 관계는 어떠한가? 그리고 이러한 원소들 내의 최대 서로 다른 소인수 개수는 √l에 대해 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• ({l,n}) = (6,4)일 때, M_{6,4} = 85와 N_{6,4} = 119를 포함하는 순환의 홀수 원소는 (85, 119)이며, 85 > 65이고 119 < 125이므로 M_{l,n}이 순환 내 최소, N_{l,n}이 최대 홀수 원소임을 확인한다.
• ({l,n}) = (11,7)일 때, M_{11,7} = 3767이고 N_{11,7} = 6805이며, c = -139에 대해 그 몫(3767/139 ≈ 27, 6805/139 ≈ 49)은 c = -1 순환의 최소 및 최대 홀수 원소의 범위 내에 있다.
• l = 1999일 때, n−x 수열과 모비우스 함수의 콘볼루션은 평균 0.5879, 표준편차 2.5812인 분포를 생성하며, 이는 약간의 정규 분포에 가깝다.
• l = 2000일 때, 제타 함수 영점과 모비우스 함수의 콘볼루션은 평균 2.7126, 표준편차 1.3419인 분포를 생성하며, n−x 수열과 비슷한 통계적 행동을 보인다.
• 소수 l < 10000에 대해, 성질 벡터 시스템의 기저 원소 수는 R-제곱 = 0.9997인 이차적 적합을 보이며, 강력한 예측 능력을 나타낸다.
• 기저 원소들 내의 최대 서로 다른 소인수 개수는 √l에 대해 선형적으로 증가하며, R-제곱 = 0.9017의 적합을 보이며, 성질 벡터 시스템 내 체계적인 산술적 구조가 있음을 시사한다.