[논문 리뷰] Colored discrete spaces: higher dimensional combinatorial maps and quantum gravity

Luca Lionni|arXiv (Cornell University)|2017. 10. 10.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 123인용 수 48

한 줄 요약

이 학위논문은 국소 곡률 정보를 유지하는 색칠된 이산 공간과 색칠된 조합적 맵 사이의 전단사성을 제안하며, 이는 고차원 양자 중력 모델의 체계적인 분석적 연구를 가능하게 한다. 주요 기여는 이산 아인슈타인-힐버트 작용을 부분 추적을 갖는 랜덤 매트릭스 모델로 재기록하는 프레임워크를 제공함으로써, 텐서 모델과 연결하고 색칠된 SYK 모델에서의 $1/N$ 전개를 통해 일반화된 유일세포 맵의 수를 세는 데 기여한다.

ABSTRACT

In any dimension $D$, the Euclidean Einstein-Hilbert action, which describes gravity in the absence of matter, can be discretized over random discrete spaces obtained by gluing families of polytopes together in all possible ways. In the physical limit of small Newton constant, only the spaces which maximize the mean curvature survive. In two dimensions, this results in a theory of random discrete spheres, which converge in the continuum limit towards the Brownian sphere, a random fractal space interpreted as a quantum random space-time. In this limit, the continuous Liouville theory of $D=2$ quantum gravity is recovered. Previous results in higher dimension regarded triangulations - gluings of tetrahedra or $D$-dimensional generalizations, leading to the continuum random tree, or gluings of simple colored building blocks of small sizes, for which multi-trace matrix model results are recovered. This work aims at providing combinatorial tools which would allow a systematic study of richer building blocks and of the spaces they generate in the continuum. We develop a bijection with stacked two-dimensional discrete surfaces, and detail how it can be used to classify discrete spaces according to their mean curvature and topology. A number of blocks are analyzed, including the new infinite family of bi-pyramids, as well as toroidal and $D$-dimensional generalizations. The relation to random tensor models is detailed. A central concern is the lowest bound on the number of ($D-2$)-cells for any given blocks, or equivalently the right scaling for the associated tensor model to have a well-behaved $1/N$ expansion. We also apply our bijection to the identification of the graphs contributing at any order to the $2n$-point functions of the colored SYK model, and to the enumeration of generalized unicellular maps - spaces obtained from a single building block - according to their mean curvature.

연구 동기 및 목표

• 2차원 랜덤 삼등분의 직접적인 고차원 일반화가 타당한 양자 공간시를 생성하지 못하는 문제를 해결하기 위해.
• 차원 $D \geq 3$에서 색칠된 구성 블록을 체계적으로 분석하기 위한 조합적 도구를 개발하기 위해.
• 랜덤 텐서 모델에서의 정확한 스케일링을 확보하기 위해 구성 블록 내 $(D-2)$-셀의 최소 수를 규명하기 위해.
• 이산 아인슈타인-힐버트 이론과 부분 추적을 갖는 랜덤 매트릭스 모델 간의 연결 고리를 설정하기 위해.
• 색칠된 SYK 모델의 $1/N$ 전개를 통해 평균 곡률에 따라 일반화된 유일세포 맵을 세는 것을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 이산 공간 내 $(D-1)$-셀에 색칠을 도입하여 고차원 조합적 구조의 분석적 처리를 가능하게 한다.
• 색칠된 이산 공간과 색칠된 조합적 맵 사이의 전단사성을 유도하며, 국소 곡률 데이터를 유지한다.
• 전단사를 활용해 이산 아인슈타인-힐버트 작용을 부분 추적을 갖는 랜덤 매트릭스 모델로 매핑하며, 이를 중간 장 표현이라 칭한다.
• 이 프레임워크를 적용해 소형 구성 블록을 분석하고 새로운 무한한 색칠된 구성 블록의 가족을 구성한다.
• 조합적 맵 이론의 결과를 활용해 평균 곡률과 $1/N$ 전개 순서에 따라 일반화된 유일세포 맵을 세는 데 기여한다.
• 0-스코어 $\Phi_0(G)$를 통해 $1/N$ 전개 차수의 범위를 설정하여, 버블에 따라 의존하는 기여의 음이 아닌 유리수 차수를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 삼등분을 일반화하는 고차원 이산 공간에 대해 체계적인 분석적 접근법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 랜덤 텐서 모델에서 정확한 스케일링을 확보하기 위해 구성 블록 내 $(D-2)$-셀의 최소 수는 얼마인가?
• RQ3 조합적 맵을 활용해 색칠된 SYK 모델의 $1/N$ 전개를 어떻게 체계적으로 세는가?
• RQ4 버블 수에 대한 비선형 0-스코어 의존성으로 인해 $1/N$ 전개가 잘 정의되지 않는 조건은 무엇인가?
• RQ5 색칠된 이산 공간과 조합적 맵 사이의 전단사성을 활용해 이산 중력 이론에 대해 일관된 중간 장 표현을 유도할 수 있는가?

주요 결과

• 색칠된 이산 공간과 색칠된 조합적 맵 사이의 전단사성이 확립되었으며, 국소 곡률 정보를 유지하고 분석적 연구를 가능하게 한다.
• 모든 색칠된 구성 블록에 대해 이산 아인슈타인-힐버트 작용은 중간 장 표현을 통해 부분 추적을 갖는 랜덤 매트릭스 모델로 재기록될 수 있다.
• $K_4$ 비가역 버블의 경우, 최대 맵의 0-스코어는 $\Phi_0(G) = 6 + 6 \times b(G)$이며, 이는 $b(G)$ 가 짝수일 때 $a'_{G_k} = 6$ 임을 의미하지만, 홀수 개수일 경우 비선형 행동이 발생할 수 있다.
• 버블 수에 대한 비선형이면서 엄밀히 증가하는 0-스코어 함수 $f(b)$ 가 존재할 경우, 유리수 순서의 $1/N$ 전개가 가능해지지만, 이러한 행동은 발생할 가능성이 낮다.
• 최대 맵에서 비선형 0-스코어 $\Phi_0(G_{\text{max}}) = D + f(b(G_{\text{max}}))$ 이고 $f(x) \leq 22$ 라면, 새로운 차수 정의 $\delta(G) = D + f(b(G)) - \Phi_0(G)$ 를 통해 유리수 순서의 $1/N$ 전개를 얻을 수 있다.
• 0-스코어가 비선형적으로 증가하고 기울기가 이론적 한계 $a'_{\text{max}} = 22$ 를 초과할 경우, 대규모-$N$ 극한에서 발산 기여를 유도하므로 올바른 $1/N$ 전개를 정의할 수 없다.