[논문 리뷰] Colored Vertex Models and Iwahori Whittaker Functions

Ben Brubaker, Valentin Buciumas외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 10.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 50인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 비아치메디안 국소체 위의 재수성 군의 비분비 주요 시리즈에 대한 Iwahori 및 parahoric Whittaker 함수를 다루는 해법 가능 래티스 모델 프레임워크를 수립한다. 이는 Whittaker 함수를 계산하는 분할 함수를 가진 색상이 부여된 정점 모델을 사용한다. 핵심 결과는 이러한 모델의 R-행렬이 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$의 Drinfeld 변환으로부터 유도되며, 이는 표준 상호연결 연산자와 연결되고 Yang-Baxter 방정식을 통해 Iwahori Whittaker 함수와 Macdonald 다항식 간의 연결고리가 된다.

ABSTRACT

We give a recursive method for computing all values of a basis of Whittaker functions for unramified principal series invariant under an Iwahori or parahoric subgroup of a split reductive group $G$ over a nonarchimedean local field $F$. Structures in the proof have surprising analogies to features of certain solvable lattice models. In the case $G=\mathrm{GL}_r$ we show that there exist solvable lattice models whose partition functions give precisely all of these values. Here `solvable' means that the models have a family of Yang-Baxter equations which imply, among other things, that their partition functions satisfy the same recursions as those for Iwahori or parahoric Whittaker functions. The R-matrices for these Yang-Baxter equations come from a Drinfeld twist of the quantum group $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$, which we then connect to the standard intertwining operators on the unramified principal series. We use our results to connect Iwahori and parahoric Whittaker functions to variations of Macdonald polynomials.

연구 동기 및 목표

• 해법 가능 래티스 모델 기법을 구면 Whittaker 함수를 초월해 Iwahori 및 parahoric Whittaker 함수로 확장한다.
• $\mathrm{GL}_r(F)$에 대한 Iwahori Whittaker 함수 값의 분할 함수를 계산하는 색상이 부여된 정점 모델을 구축한다.
• 래티스 모델의 경계 조건과 Weyl 군 원소 및 $g \in G(F)$ 간의 대응 관계를 설정함으로써 Whittaker 함수 값에 대응시킨다.
• 래티스 모델의 R-행렬을 표현 이론에서의 표준 상호연결 연산자와 연결한다.
• 래티스 모델 프레임워크를 통해 Iwahori 및 parahoric Whittaker 함수를 Macdonald 다항식의 변형과 연결한다.

제안 방법

• Weyl 군 원소와 $g \in G(F)$를 인코딩하는 색상이 부여된 경계 조건을 가진 parahoric 래티스 모델을 구축한다.
• 융합 관계로부터 유도된 Yang-Baxter 방정식을 사용하여 모델의 일致성과 해법 가능성을 확보한다.
• 래티스 상호작용을 모델링하기 위해 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$의 Drinfeld 변환으로부터 R-행렬을 유도한다.
• 모델의 분할 함수가 Iwahori 및 parahoric Whittaker 함수와 동일한 재귀 관계를 만족함을 입증한다.
• 상호연결 적분과 $R$-행렬 작용을 사용하여 래티스 모델을 $p$-진 군의 표현 이론에서의 표준 연산자와 연결한다.
• 명시적 재귀와 경계 조건 일치를 통해 래티스 모델의 분할 함수가 Whittaker 함수 값과 일치함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Iwahori Whittaker 함수는 $\mathrm{GL}_r(F)$에 대해 해법 가능 래티스 모델의 분할 함수로 표현될 수 있는가?
• RQ2 해법 가능 래티스 모델의 해법을 규정하는 R-행렬의 대수적 구조는 무엇인가?
• RQ3 래티스 모델의 경계 조건은 Weyl 군 원소와 $g \in G(F)$와 어떻게 대응되는가?
• RQ4 래티스 모델의 R-행렬과 비분비 주요 시리즈에서의 표준 상호연결 연산자 간의 연결고리는 무엇인가?
• RQ5 이 구성을 통해 Iwahori 및 parahoric Whittaker 함수는 Macdonald 다항식의 어떤 변형과 관련이 있는가?

주요 결과

• 모든 $g \in \mathrm{GL}_r(F)$와 Weyl 군 원소 $w$에 대해, 해당 모델의 경계 조건 중에서 분할 함수가 $\psi_w(g)$, 즉 Iwahori Whittaker 함수 값과 일치하는 것이 존재한다.
• 모델의 R-행렬은 $U_q(\widehat{\mathfrak{gl}}(r|1))$의 Drinfeld 변환으로부터 유도되며, 이는 래티스 모델이 양자군 구조와 연결됨을 보여준다.
• 색상이 부여된 정점 모델의 분할 함수는 Iwahori 및 parahoric Whittaker 함수와 동일한 재귀 관계를 만족하므로, 그 해법 가능성이 확인된다.
• 상부 경계의 색상이 모두 다를 경우, 각 경계 조건은 고유한 $g \in G(F)$와 Weyl 군 내의 원소 $w$에 대응하며, 분할 함수는 $\phi_w(g)$와 일치한다.
• 이 구성은 Whittaker 함수 기능에 대한 상호연결 연산자의 작용과 래티스 모델 상태에 대한 $R$-행렬 작용 간의 직접적 대응 관계를 수립한다.
• 이 프레임워크는 parahoric 부분군으로까지 확장되어 Iwahori 및 parahoric Whittaker 함수를 하나의 해법 가능 래티스 모델 안에서 통합한다.