[논문 리뷰] Coloring dense graphs via VC-dimension

Tomasz Łuczak, Stéphan Thomassé|arXiv (Cornell University)|2010. 07. 09.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 13인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 밀도 높은 그래프에서 색수의 상한을 분석하기 위해 기저가 그래프인 초그래프에 적합한 새로운 일반화된 VC-차원인 쌍화된 VC-차원을 도입한다. 삼각형을 포함하지 않는 최소 차수 > n/3인 그래프의 색수는 유계임을 짧은 증명으로 보이며, H-자유 그래프의 색수 임계값은 0 또는 최소 1/3이며, 그 사이 값은 불가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

The Vapnik-Červonenkis dimension is a complexity measure of set-systems, or hypergraphs. Its application to graphs is usually done by considering the sets of neighborhoods of the vertices (cf. Alon et al. (2006) and Chepoi, Estellon, and Vaxes (2007)), hence providing a set-system. But the graph structure is lost in the process. The aim of this paper is to introduce the notion of paired VC-dimension, a generalization of VC-dimension to set-systems endowed with a graph structure, hence a collection of pairs of subsets. The classical VC-theory is generally used in combinatorics to bound the transversality of a hypergraph in terms of its fractional transversality and its VC-dimension. Similarly, we bound the chromatic number in terms of fractional transversality and paired VC-dimension. This approach turns out to be very useful for a class of problems raised by Erdős and Simonovits (1973) asking for H-free graphs with minimum degree at least cn and arbitrarily high chromatic number, where H is a fixed graph and c a positive constant. We show how the usual VC-dimension gives a short proof of the fact that triangle-free graphs with minimum degree at least n/3 have bounded chromatic number, where $n$ is the number of vertices. Using paired VC-dimension, we prove that if the chromatic number of $H$-free graphs with minimum degree at least cn is unbounded for some positive c, then it is unbounded for all c<1/3. In other words, one can find H-free graphs with unbounded chromatic number and minimum degree arbitrarily close to n/3. These H-free graphs are derived from a construction of Hajnal. The large chromatic number follows from the Borsuk-Ulam Theorem.

연구 동기 및 목표

• 최소 차수가 높은 H-자유 그래프에 대한 색수 상한 문제를 다루기 위해 에르되시–시몬وفي츠 문제를 해결한다.
• 그래프의 구조를 유지하면서 밀도 높은 그래프에서 색수를 분석하기 위해 쌍화된 VC-차원을 활용한 새로운 프레임워크를 개발한다.
• 최소 차수가 cn을 초과할 때마다 항상 색수가 유계가 되는 H-자유 그래프의 H를 특성화한다.
• H-자유 그래프의 색수 임계값이 0과 1/3 사이의 값을 가질 수 없으며, 날카로운 단계 전이를 확립한다.
• 톱로지적 방법을 사용하여 토마센의 결과를 재증명한다: 오각형을 포함하지 않는 그래프는 색수 임계값이 0이며, 이를 쌍화된 VC-차원을 통해 증명한다.

제안 방법

• 기저가 그래프인 초그래프에 대해 쌍화된 VC-차원을 도입하여 고전적 VC-차원을 일반화하며, 쌍의 부분집합을 포괄한다.
• 고전적 VC-이론을 적용하여 최소 차수가 > n/3인 삼각형을 포함하지 않는 그래프에서 색수를 유계로 둘러싸며, 색수의 유계성에 대한 짧은 증명을 제공한다.
• 정점 이웃의 그래프 구조를 정점 집합의 k원소 부분집합 위의 초그래프로 옮겨 조합적 구조를 유지한다.
• Borsuk–Ulam 정리를 사용하여 최소 차수가 n/3에 가까운 높은 색수를 가진 밀도 높은 그래프를 구성하며, 극한 예시로 활용한다.
• 구면 위에 Borsuk–Hajnal 그래프를 토폴로지적 구성으로 만들며, 높은 색수를 실현하고 최소 차수 성질을 분석한다.
• 호모모르피즘과 고리 길이 감소 기법(He ll–Nešetřil 구성)을 적용하여 높은 색수, 높은 고리 길이, 국소적으로 거의 이분 그래프 이웃을 가진 그래프를 생성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 H-자유 그래프의 색수 임계값은 무엇이며, H의 구조적 성질로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 쌍화된 VC-차원을 사용하여 밀도 높은 H-자유 그래프의 색수에 대해 날카로운 상한을 확립할 수 있는가?
• RQ3 H-자유 그래프의 색수 임계값이 0과 1/3 사이의 어떤 값도 가질 수 있는가?
• RQ4 국소적으로 이분 그래프인 그래프의 색수 임계값이 1/2일 수 있는가, 이는 추측된 바이다.
• RQ5 톱로지적 구성(예: Borsuk 그래프)이 높은 최소 차수와 함께 높은 색수를 달성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 최소 차수가 n/3를 초과하는 삼각형을 포함하지 않는 그래프의 색수는 유계이며, 이 결과는 고전적 VC-차원을 통해 개선된 범위로 재증명되었으며, n/3에서 상수를 뺀 최소 차수에 대해서도 유계성을 보여준다.
• H-자유 그래프의 색수 임계값은 0 또는 최소 1/3이며, 그 사이 값은 불가능하여 날카로운 임계값 갭을 확립한다.
• 모든 c < 1/3에 대해, 최소 차수가 적어도 cn이고 색수가 무한히 증가하는 H-자유 그래프가 존재하므로, 임계값이 1/3에서 정확히 타이트함을 보여준다.
• H-자유 그래프의 색수 임계값이 0이 되는 것은 H가 거의 순환하지 않는 그래프일 때에만 가능하며, 이는 추측과 일치하며 Borsuk–Hajnal 그래프를 활용한 구성으로 뒷받침된다.
• 토마센의 결과에 대한 새로운 증명을 제시한다: 오각형을 포함하지 않는 그래프는 색수 임계값이 0이며, 이를 쌍화된 VC-차원을 사용하여 증명하고, 이는 비이분 그래프의 넓은 범주로 확장된다.
• 최소 차수가 n/2에 임의로 가까운 국소적으로 이분 그래프인 그래프를 구성하며, 색수가 무한히 증가하므로, 이러한 그래프의 색수 임계값이 1/2일 것이라는 추측을 뒷받침한다.