[논문 리뷰] Combinatorial Discrepancy for Boxes via the Ellipsoid-Infinity Norm

Jiřı́ Matoušek, Aleksandar Nikolov|arXiv (Cornell University)|2014. 08. 06.

Mathematical Approximation and Integration인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 행렬의 $\gamma_2$ 노름이 유전적 불일치를 날카럽게 근사함을 확립하여, 불일치 경계의 다항시간 계산을 가능하게 한다. 이는 $\gamma_2(A) = O(\log m) \cdot \mathrm{herdisc}\, A$ 및 $\mathrm{herdisc}\, A = O(\sqrt{\log m}) \cdot \gamma_2(A)$ 를 증명함으로써 이루어지며, 이는 유전적 불일치에 대한 첫 번째 다항시간 근사 알고리즘을 제공하고, $d$-차원 Tusnady 문제에 대해 near-optimal $\Omega(\log^{d-1} n)$ 하한 bound 를 증명하는 데 응용된다.

ABSTRACT

The $\gamma_2$ norm of a real $m imes n$ matrix $A$ is the minimum number $t$ such that the column vectors of $A$ are contained in a $0$-centered ellipsoid $E\subseteq\mathbb{R}^m$ which in turn is contained in the hypercube $[-t, t]^m$. We prove that this classical quantity approximates the \emph{hereditary discrepancy} $\mathrm{herdisc} A$ as follows: $\gamma_2(A) = {O(\log m)}\cdot \mathrm{herdisc} A$ and $\mathrm{herdisc} A = O(\sqrt{\log m}\,)\cdot\gamma_2(A) $. Since $\gamma_2$ is polynomial-time computable, this gives a polynomial-time approximation algorithm for hereditary discrepancy. Both inequalities are shown to be asymptotically tight. We then demonstrate on several examples the power of the $\gamma_2$ norm as a tool for proving lower and upper bounds in discrepancy theory. Most notably, we prove a new lower bound of $\Omega(\log^{d-1} n)$ for the \emph{$d$-dimensional Tusnady problem}, asking for the combinatorial discrepancy of an $n$-point set in $\mathbb{R}^d$ with respect to axis-parallel boxes. For $d>2$, this improves the previous best lower bound, which was of order approximately $\log^{(d-1)/2}n$, and it comes close to the best known upper bound of $O(\log^{d+1/2}n)$, for which we also obtain a new, very simple proof.

연구 동기 및 목표

• 행렬에 대한 $\gamma_2$ 노름과 유전적 불일치 사이의 날카운 근사 경계를 확립하기 위해.
• 유전적 불일치에 대한 다항시간 계산 가능한 근사 알고리즘을 $\gamma_2$ 노름을 사용하여 개발하기 위해.
• 유전적 불일치 이론에서 새로운 하한 경계를 도출하기 위해 $\gamma_2$ 노름 프레임워크를 적용하기 위해, 특히 $d$-차원 Tusnady 문제에 대해.
• 기존의 $O(\log^{d+1/2} n)$ 상한 경계에 대한 새로운 간단한 증명을 제공하기 위해.

제안 방법

• 행렬 $A$의 열 벡터들이 $[-t,t]^m$ 내에 포함된 원점 중심 타원체 $E$ 안에 들어가도록 하는 최소 $t$ 를 $\gamma_2$ 노름으로 정의하여, $\mathbb{R}^m$ 내의 기하적 포함 관계와 연결하기 위해.
• $\gamma_2(A)$ 가 유전적 불일치를 $O(\log m)$ 요소 내에서 근사함을 증명하여 근사 비율에 대한 상한과 하한을 동시에 확립하기 위해.
• $\gamma_2$ 노름과 타원체-무한대 노름 사이의 이중성 관계를 이용하여 기하학적 및 함수해석학적 기법을 통해 불일치 경계를 유도하기 위해.
• $\gamma_2$ 프레임워크를 $\mathbb{R}^d$ 내의 축에 평행한 상자에 적용하여, $d$-차원 Tusnady 문제의 구조를 활용해 渐近적으로 날카운 경계를 도출하기 위해.
• 구체적인 예시를 통해 $\gamma_2$ 노름이 불일치 이론에서 상한과 하한 경계를 증명하는 데 강력한 도구가 되는 것을 보여주기 위해.
• $\gamma_2$ 노름 프레임워크를 사용하여 $d$-차원 Tusnady 문제에 대한 $O(\log^{d+1/2} n)$ 상한 경계에 대한 새로운 간단한 증명을 제공하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유전적 불일치를 다항식 요소 내에서 $\gamma_2$ 노름으로 근사할 수 있는가?
• RQ2 $\gamma_2(A)$ 와 $\mathrm{herdisc}\, A$ 사이의 최고의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ3 $\gamma_2$ 노름 프레임워크를 통해 $d$-차원 Tusnady 문제에 대한 개선된 하한 경계를 도출할 수 있는가?
• RQ4 유전적 불일치를 근사하기 위해 $\gamma_2$ 노름을 사용하는 다항시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 $\gamma_2$ 노름이 기존의 $O(\log^{d+1/2} n)$ 상한 경계에 대한 더 단순한 증명을 제공할 수 있는가?

주요 결과

• $\gamma_2$ 노름은 $O(\log m)$ 요소 내에서 유전적 불일치를 근사하며, $\gamma_2(A) = O(\log m) \cdot \mathrm{herdisc}\, A$ 라고 한다.
• 유전적 불일치는 $O(\sqrt{\log m}) \cdot \gamma_2(A)$ 로 상한이 존재하여 근사 비율이 로그 인자에 대해 날카롭게 유지됨을 보여준다.
• $\gamma_2$ 노름은 다항시간 계산 가능한 유전적 불일치 근사값을 제공하여 효율적인 알고리즘 적용을 가능하게 한다.
• $d$-차원 Tusnady 문제에 대해 $\Omega(\log^{d-1} n)$ 의 새로운 하한 경계가 증명되었으며, 이는 이전의 최선의 경계 $\sim \log^{(d-1)/2} n$ 보다 향상된 것이다.
• 논문은 $\gamma_2$ 노름 프레임워크를 사용하여 $d$-차원 Tusnady 문제에 대한 $O(\log^{d+1/2} n)$ 상한 경계에 대한 새로운 간단한 증명을 제공한다.
• $\gamma_2$ 노름과 유전적 불일치의 경계가 渐近적으로 날카롭게 유지됨을 보여주어 근사 비율의 최적성 확인된다.