[논문 리뷰] Combinatorial results for certain semigroups of order-preserving full contraction mappings of a finite chain

A. D. Adeshola, Abdullahi Umar|arXiv (Cornell University)|2013. 03. 29.

semigroups and automata theory참고 문헌 5인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 크기가 $ n $ 인 유한 체인 위에서 순서 유지 및 순서 반전 전부 수축 사상의 반군의 조합 구조를 조사한다. 높이, 고정점, 허리 기반의 동치류를 분석함으로써, 이 반군의 기수를 정확한 공식으로 유도하며, $|\mathcal{ORCT}_n| = (n+1)2^{n-1} - n$ 와 같은 공식을 포함한다. 또한 OEIS에 기록된 새로운 정수 삼각형을 도입한다. 이 작업은 반군 이론에서 변환 불변량과 조합 수세기 사이의 연결 고리를 확립한다.

ABSTRACT

Let ${\cal T}_n$ be the full symmetric semigroup on $X_n = \{1, 2,..., n\}$ and let ${\cal OCT}_n$ and ${\cal ORCT}_n$ be its subsemigroups of order-preserving and order-preserving or order-reversing full contraction mappings of $X_n$, respectively. In this paper we investigate the cardinalities of some equivalences on ${\cal OCT}_n$ and ${\cal ORCT}_n$ which lead naturally to obtaining the orders of these subsemigroups.

연구 동기 및 목표

• 유한 체인 위의 전부 수축 사상 반군 $\mathcal{OCT}_n$, $\mathcal{ORCT}_n$, $\mathcal{ODCT}_n$ 의 동치류 기수를 결정하는 것.
• 높이, 고정점, 허리와 같은 불변량을 사용하여 $\mathcal{OCT}_n$, $\mathcal{ORCT}_n$, $\mathcal{ODCT}_n$ 의 순서에 대한 닫힌 표현식을 도출하는 것.
• 이 반군 내의 등幂 원소 및 멱영 원소 집합을 특성화하고, 조합적 방법을 통해 수세기하는 것.
• 변환 불변량과 알려진 조합 수열 간의 연결 고리를 확립하여, OEIS에 새로운 항목을 기록하는 것.

제안 방법

• 반군 $\mathcal{T}_n$ 내 사상에 대해 높이 $h(\alpha)$, 고정점 $f(\alpha)$, 오른쪽/왼쪽 허리 $w^{\pm}(\alpha)$ 를 정의한다.
• 수축 사상에서 상의 볼록성과 고정점 집합의 볼록성을 이용하여 가능한 구성의 범위를 제약한다.
• 높이 $p$, 고정점 $m$, 허리 $k$ 기반으로 사상을 분류하고, 조합적 추론을 통해 동치류를 세는 방식을 사용한다.
• 특히 높이 $p$ 와 고정점이 하나인 순서 반전 수축의 수 $b(n,p)$ 에 대해 재귀 관계와 생성 함수를 적용한다.
• 특히 등幂 원소에 대해 $\mathop{\rm Im}\nolimits\epsilon = F(\epsilon)$ 조건을 활용한 기존 결과를 활용한다.
• 이항 계수와 재귀 관계를 사용하여 닫힌 표현식을 도출하며, $\mathcal{ODCT}_n$ 에서 $F(n;p,k,m) = \binom{n-m-1}{p-m}$ 를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 크기가 $n$ 인 유한 체인의 순서 유지 전부 수축 사상의 정확한 수는 얼마인가요?
• RQ2 높이, 고정점, 허리 불변량이 반군 $\mathcal{ORCT}_n$ 을 어떻게 분할하며, 각 분할의 크기는 얼마인가요?
• RQ3 $\mathcal{ORCT}_n$ 내 순서 반전 전부 수축 사상의 총 수는 얼마이며, 알려진 조합 수열과 어떤 관계가 있나요?
• RQ4 $\mathcal{ODCT}_n$ 과 $\mathcal{ORCT}_n$ 의 등幂 원소는 높이와 고정점 값에 따라 어떻게 분포되어 있나요?
• RQ5 이 반군의 수세기 과정에서 어떤 새로운 조합 삼각형 또는 수열이 도출되나요?

주요 결과

• 순서 유지 또는 순서 반전 전부 수축 사상 반군 $\mathcal{ORCT}_n$ 의 순서는 $n \geq 1$ 에 대해 $|\mathcal{ORCT}_n| = (n+1)2^{n-1} - n$ 이다.
• 높이 $p$ 와 고정점이 하나인 순서 반전 전부 수축 사상의 수는 $b(n,p) = (n-p+1)\sum_{i \geq 1} \binom{n-2i}{p-2i}$ 로 주어진다.
• 높이 $p$ 와 고정점 $m$ 인 순서 유지 전부 수축 사상의 수는 $p = k$ 일 때 $F(n;p,k,m) = \binom{n-m-1}{p-m}$ 이고, 그 외에는 0이다.
• 순서 유지 및 순서 감소 전부 수축 사상 반군 $\mathcal{ODCT}_n$ 의 순서는 $n \geq 1$ 에 대해 $|\mathcal{ODCT}_n| = 2^{n-1}$ 이다.
• $\mathcal{ODCT}_n$ 의 등幂 원소 수는 정확히 $n$ 이며, 이들은 가능한 고정점과 일대일 대응된다.
• $\mathcal{ORCT}_n$ 의 $F(n;m_0)$ 수열은 $na_n = (n+2)a_{n-1} + 2(n+1)a_{n-2}$ 를 만족하며, 초기 조건 $a_1 = 1$, $a_2 = 2$ 이고, 이는 OEIS에 기록된 새로운 정수 수열이다.