[논문 리뷰] Combinatorial theory of permutation-invariant random matrices I: partitions, geometry and renormalization

Franck Gabriel|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 10.

Random Matrices and Applications참고 문헌 20인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 집합 분할에 대한 거리 기반 순서를 도입하여 브루하트 순서를 일반화하고, 순열 불변 랜덤 행렬에 대한 통합 프레임워크를 제공한다. 분할 위의 선형 형식에 대해 호프 대수 구조를 수립하고, 새로운 컨볼루션과 크레바라스 유사 보완을 정의하며, 이러한 도구를 활용해 랜덤 행렬 집합의 모멘트 수렴과 고차수 변동성을 특성화한다.

ABSTRACT

In this article, we define and study a geometry and an order on the set of partitions of an even number of objects. One of the definitions involves the partition algebra, a structure of algebra on the set of such partitions depending on an integer parameter N. Then we emulate the theory of random matrices in a combinatorial framework: for any parameter N, we introduce a family of linear forms on the partition algebras which allows us to define a notion of weak convergence similar to the convergence in moments in random matrices theory. A renormalization of the partition algebras allows us to consider the weak convergence as a simple convergence in a fixed space. This leads us to the definition of a deformed partition algebra for any integer parameter N and to the definition of two transforms: the cumulants transform and the exclusive moments transform. Using an improved triangular inequality for the distance defined on partitions, we prove that the deformed partition algebras, endowed with a deformation of the linear forms converge as N go to infinity. This result allows us to prove combinatorial properties about geodesics and a convergence theorem for semi-groups of functions on partitions. At the end we study a sub-algebra of functions on infinite partitions with finite support : a new addition operation and a notion of R-transform are defined. We introduce the set of multiplicative functions which becomes a Lie group for the new addition and multiplication operations. For each of them, the Lie algebra is studied. The appropriate tools are developed in order to understand the algebraic fluctuations of the moments and cumulants for converging sequences. This allows us to extend all the results we got for the zero order of fluctuations to any order.

연구 동기 및 목표

• 새로운 집합 분할에 대한 거리 구조를 사용하여 순열 불변 랜덤 행렬의 기하학적이고 조합론적 프레임워크를 개발한다.
• 크레바라스 보완과 브루하트 순서를 2k원소 집합 위의 더 넓은 분할 클래스로 일반화한다.
• 분할 위의 선형 형식에 대해 호프 대수, 컨볼루션, 양대수 구조와 같은 대수적 구조를 구축한다.
• 새로운 조합론적 도구를 사용하여 순열 불변 랜덤 행렬 수열의 모멘트 수렴과 변동성을 특성화한다.
• 비 i.i.d. 랜덤 행렬 설정에서 일반화된 자유도 개념과 트레이스 대수의 기초를 마련한다.

제안 방법

• 공식 $ d(p,p') = \frac{1}{2}(\#p + \#p') - \#(p \vee p') $ 를 사용해 분할에 대한 거리 함수를 정의하고, 고정된 분할 $ b $ 에 대해 지오데식 순서 $ \leq_b $ 를 유도한다.
• $ \leq_b $ 를 더 단순한 순서로 분해하여 특성화하고, 해세 다이어그램을 기술하며, 멜리우스 함수를 계산한다.
• $ \mathcal{P}_k = \mathcal{P}(\{1,\dots,k,1',\dots,k'\}) $ 집합에 거리 및 순서 구조를 적용하여, $ (\mathsf{P}_k, \trianglelefteq) $ 와 $ (\mathsf{NC}_k, \trianglelefteq) $ 가 $ (\mathcal{P}_k, \leq) $ 에 임베딩됨을 보인다.
• 크레바라스 보완을 $ \mathcal{P}_k $ 에 일반화하고, 인수 분해 성질을 만족하며, $ \text{df}(p,p') $ 와의 관계를 규명한다.
• $ \left(\bigoplus_{k=0}^{\infty} \mathbb{C}[\mathcal{P}_k]\right)^* $ 공간에 두 개의 컨볼루션 $ \boxplus $, $ \boxtimes $ 를 도입하고, 특성 및 무한소 특성과 호환되는 삼각형 변환을 정의한다.
• 관측량 수열 $ (E_t^N) $ 을 통해 고차수 변동성을 정의하고, 새로운 컨볼루션 구조를 사용해 세 moments 및 첨도에 대한 미분방정식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합 분할에 대한 기하학적 거리가 어떻게 자연스러운 순서를 정의하고, 브루하트 순서를 일반화할 수 있는가?
• RQ2 크레바라스 보완은 비교적 교차하지 않는 분할을 넘어서 2k원소 집합 위의 전체 분할 집합으로 확장될 수 있는가?
• RQ3 이 순서가 부여된 분할의 조합론에서 자연스럽게 나타나는 대수적 구조—호프 대수 또는 양대수 등—는 무엇인가?
• RQ4 새로운 컨볼루션과 사영은 랜덤 행렬 이론에서 모멘트 및 첨도 생성 함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이러한 구조들은 순열 불변 랜덤 행렬 수열의 수렴과 변동성을 어떻게 특성화하는가?

주요 결과

• 거리 함수 $ d(p,p') = \frac{1}{2}(\#p + \#p') - \#(p \vee p') $ 는 분할 집합 위의 유효한 메트릭을 정의하며, 지오데식 순서 $ \leq_b $ 를 유도한다.
• $ \mathcal{P}_k $ 에서의 순서 $ \leq $ 는 고전적 분할 레이티스 $ \mathsf{P}_k $ 와 비교적 교차하지 않는 분할 레이티스 $ \mathsf{NC}_k $ 를 모두 포함하며, 더 세밀한 순서 $ \trianglelefteq $ 를 일반화한다.
• $ \mathcal{P}_k $ 에서 일반화된 크레바라스 보완이 정의되며, 인수 분해 성질을 만족하고, 기존의 $ \mathsf{NC}_k $ 에서의 개념을 확장한다.
• $ \left(\bigoplus_{k=0}^{\infty} \mathbb{C}[\mathcal{P}_k]\right)^* $ 공간은 두 컨볼루션 $ \boxplus $ 와 $ \boxtimes $ 를 통해 등급 연결 호프 대수 구조를 지닌다. 이는 특성 및 무한소 특성과 호환된다.
• 랜덤 행렬 수열의 고차수 변동성은 미분방정식 (54)–(56) 에 의해 지배되며, 새로운 컨볼루션 연산을 통해 첨도와 모멘트를 연결한다.
• 반세그먼트 $ (E_t^N) $ 의 n차 수준까지의 변동성 수렴은 초기 자료와 이동성의 수렴으로 특성화되며, 모멘트 및 첨도에 대한 명시적 진화 방정식이 존재한다.