[논문 리뷰] Combinatorics of branchings in higher dimensional automata

Philippe Gaucher|ArXiv.org|1999. 12. 08.

semigroups and automata theory참고 문헌 24인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 고차원 자동기계를 구형 ω-카테고리로 모델링한 데에 새로운 호몰로지 이론—감소된 분기 호몰로지(reduced branching homology)—를 소개한다. 기존의 분기 호몰로지에서 발생하는 위상적 모순을 해결하기 위해 얇은 원소(thin elements)를 몫으로 취함으로써 동일한 실행 행동을 나타내는 등가의 분기 구조를 적절히 식별할 수 있도록 한다. 주요 기여는 자유적으로 생성된 precubical set으로부터 유도된 ω-카테고리에 대해 감소된 분기 호몰로지가 비감소 호몰로지와 일치함을 증명하고, 호모토피 동치에 대해 불변임을 확립하는 것이다.

ABSTRACT

We explore the combinatorial properties of the branching areas of execution paths in higher dimensional automata. Mathematically, this means that we investigate the combinatorics of the negative corner (or branching) homology of a globular $ω$-category and the combinatorics of a new homology theory called the reduced branching homology. The latter is the homology of the quotient of the branching complex by the sub-complex generated by its thin elements. Conjecturally it coincides with the non reduced theory for higher dimensional automata, that is $ω$-categories freely generated by precubical sets. As application, we calculate the branching homology of some $ω$-categories and we give some invariance results for the reduced branching homology. We only treat the branching side. The merging side, that is the case of merging areas of execution paths is similar and can be easily deduced from the branching side.

연구 동기 및 목표

• 기존의 분기 호몰로지 이론에서 등가의 분기 구조(예: u−w와 X−Y)가 동일한 실행 행동을 나타내지만 서로 다른 호몰로지 클래스를 갖는다는 위상적 모순을 해결하기 위해.
• 얇은 원소로 생성된 부분복합체에 대해 분기 복합체를 몫으로 취함으로써 새로운 호몰로지 이론—감소된 분기 호몰로지—를 정의함으로써 위상적 불변성을 확보하기 위해.
• precubical set으로 자유롭게 생성된 ω-카테고리에 대해 감소된 분기 호몰로지가 비감소 호몰로지와 일치함을 증명하고, 추측을 기반으로 하기 위해.
• 호모토피 동치나 초기 및 종료 상태를 유지하는 사상에 대해 감소된 분기 호몰로지의 불변성 성질을 확립하기 위해.
• 2_p 및 G_p⟨A,B⟩와 같은 기본적인 ω-카테고리에 대해 감소된 분기 호몰로지와 형식적 분기 호몰로지를 계산하여 기초적인 예를 제공하기 위해.

제안 방법

• precubical set K로부터 자유 구형 ω-카테고리 F(K)를 구성함. n-정육면체와 그의 복합 구조를 기록하기 위해 면 사상과 관계를 사용함.
• ω-카테고리를 입방체 집합으로 모델링하기 위해 입방체 단순 복합체 N^□(F(K))를 정의함. 이를 통해 호몰로지의 체인 복합체를 정의할 수 있음.
• 세 가지 가족의 분해 사상(ε_i, Γ_i^-, Γ_i^+)을 도입함. 특히 Γ_i^-는 분기 구조를, Γ_i^+는 융합을 모델링함.
• 음의 접기 연산자 Φ_n^-를 정의하여 형식적 복합체와 감소된 분기 복합체 간의 관계를 설정함. 이는 체인 사상과의 호환성을 보장함.
• 감소된 분기 호몰로지를 정의하기 위해 몫 복합체 C_R_n^− = C_F_n^− / ⟨thin elements⟩를 사용함. 미분 ∂^−는 형식적 복합체로부터 유도됨.
• 이전 연구에서 얻은 호모토피 동치 결과(예: [Gau00])를 적용하여 복잡한 계산을 2_1 또는 I^n과 같은 간단한 경우로 줄임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 기존의 분기 호몰로지 이론은 1차원 HDA에서 u−w와 X−Y와 같은 위상적으로 동등한 분기 구조를 식별하지 못하는가?
• RQ2 특히 Γ_i^-와 Γ_i^+를 포함한 얇은 원소를 체인 복합체에 공식적으로 통합하면 호몰로지적 모순이 어떻게 해결될 수 있는가?
• RQ3 precubical set으로 자유롭게 생성된 ω-카테고리에 대해 감소된 분기 호몰로지(얇은 원소에 대한 몫)가 비감소 이론과 일치하는가?
• RQ4 2_p 및 G_p⟨A,B⟩와 같은 기본 ω-카테고리의 감소된 분기 호몰로지 군은 무엇인가?
• RQ5 감소된 분기 호몰로지는 호모토피 동치 또는 초기 및 종료 상태를 유지하는 사상에 대해 불변인가?

주요 결과

• 감소된 분기 호몰로지 H_R_n^−(2_p)는 n > 0이면 0이고, 차수 0에서는 ℤ이며, 이는 형식적 분기 호몰로지와 일치함. 이는 단순한 ω-카테고리에서의 일致성을 확인함.
• G_p⟨A,B⟩의 경우 감소된 분기 호몰로지는 차수 0과 p에서만 비자명하며, H_R_0^− = H_R_p^− = ℤ이고 나머지에서는 0임. 이는 p-사상이 호모토피적으로 동치가 아니라는 사실을 반영함.
• I^n의 형식적 분기 호몰로지는 양의 차수에서 0이며, H_F_0^−(I^n) = ℤ 이고, p > 0이면 H_F_p^−(I^n) = 0임. 이는 면의 심플로이드 유사 호몰로지 때문임.
• I^n의 감소된 분기 호몰로지도 양의 차수에서 0이며, 몫 복합체에서 면 정육면체 간에 추가적인 관계가 발생하지 않기 때문임.
• 감소된 분기 호몰로지는 호모토피 동치에 대해 불변임: 두 ω-카테고리가 호모토피 동치이면, 그들의 감소된 분기 호몰로지 군은 서로 동형임.
• 음의 접기 연산자 Φ_n^-는 형식적 복합체와 감소된 복합체 사이에 동형사를 유도함. 이는 감소된 이론이 자유적인 경우 원래 이론과 잘 일치하고 잘 정의되어 있음을 증명함.