[논문 리뷰] Combinatorics of patience sorting piles

Alexander Burstein, Isaiah Lankham|ArXiv.org|2005. 06. 17.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 18인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 Patience Sorting의 조합론을 발전시켜, RSK 대응과 유사한 순열과 쌍의 집합 분할 사이의 전단사 사상(역사상)을 도입한다. 일반화된 패턴 3-1-42을 피하는 순열은 정확히 그들의 더미 구성이 집합 분할과 대응하는 경우임을 규명하고, 그 수가 제n 벨 수임을 증명하며, 알고리즘에 대해 칸스키 유사 등가관계를 수립한다.

ABSTRACT

Despite having been introduced in 1962 by C.L. Mallows, the combinatorial algorithm Patience Sorting is only now beginning to receive significant attention due to such recent deep results as the Baik-Deift-Johansson Theorem that connect it to fields including Probabilistic Combinatorics and Random Matrix Theory. The aim of this work is to develop some of the more basic combinatorics of the Patience Sorting Algorithm. In particular, we exploit the similarities between Patience Sorting and the Schensted Insertion Algorithm in order to do things that include defining an analog of the Knuth relations and extending Patience Sorting to a bijection between permutations and certain pairs of set partitions. As an application of these constructions we characterize and enumerate the set S_n(3-\bar{1}-42) of permutations that avoid the generalized permutation pattern 2-31 unless it is part of the generalized pattern 3-1-42.

연구 동기 및 목표

• 최근 랜덤 행렬 이론과 확률적 조합론과의 연결성으로 인해 주목받고 있는 Patience Sorting 알고리즘의 기초 조합론을 발전시키기.
• 기존 RSK 대응에서의 클래식한 칸스키 관계와 유사한, Patience Sorting에 대한 칸스키 유사 등가관계를 정의하기.
• RSK 대응을 모방하여, 순열과 집합 분할의 쌍 사이의 전단사 사상으로 Patience Sorting를 확장하기.
• 일반화된 패턴 3-1-42을 피하는 순열의 집합을 특성화하고, 특히 2-31 패턴을 포함하지 않거나 3-1-42 패턴의 일부가 아닌 경우를 포함하여 수를 세기.
• 이러한 순열의 수가 제n 벨 수임을 보여주며, Patience Sorting를 고전적인 조합론적 대상과 연결하기.

제안 방법

• Patience Sorting 절차에서 동일한 더미 구성이 되는 순열들 사이의 등가관계 ≡PS를 정의하며, 이는 RSK에서의 칸스키 관계와 유사하다.
• 왼쪽에서 오른쪽으로의 최소값과 기본 부분수열을 사용하여 각 더미의 구조를 정의함으로써, 더미 구성이 집합 분할로 해석될 수 있음을 규명한다.
• 각 더미 구성에서 순열로의 역경로 단어(RPW) 매핑을 구성하며, 모든 집합 분할이 실제로 어떤 더미 구성으로 나타날 수 있음을 보여준다.
• 연속된 오른쪽에서 왼쪽으로의 최소값 사이의 감소하는 연속부분수열의 구조와 영향을 분석함으로써, 3-1-42 패턴에 포함되지 않는 2-31 패턴의 회피를 분석한다.
• Sn(3-1-42)에 속하는 순열과 [n]의 집합 분할 사이의 전단사 사상을 수립하며, 이 집합의 크기가 벨 수 Bn임을 보여준다.
• 3-1-42 피하는 클래스 Sn(3-1-42)가 23-1 피하는 클래스 Sn(23-1)과 정확히 일치함을 증명함으로써, 서로 다른 패턴 정의에도 불구하고 Wilf 등가성과 구조적 등가성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Patience Sorting를 RSK 대응과 유사하게, 순열과 집합 분할의 쌍 사이의 완전한 전단사 사상으로 확장할 수 있는가?
• RQ2 특히 2-31 패턴과의 관련성에서, 일반화된 패턴 3-1-42를 피하는 순열의 조합론적 구조는 어떠한가?
• RQ3 Patience Sorting에 대해 칸스키 유사 등가관계를 정의할 수 있으며, 그 관계가 순열의 더미 구성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 왜 3-1-42 피하는 경우가 정확히 벨 수가 되며, 이는 이러한 순열의 구조에 대해 어떤 함의를 갖는가?
• RQ5 Sn(3-1-42) 피하는 클래스는 부분순열을 취하는 데 대해 닫혀 있는가? 이는 고전적 패턴 피하는 클래스와 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 3-1-42를 피하는 순열의 집합은 [n]의 집합 분할 집합과 전단사 관계에 있으며, 따라서 크기가 제n 벨 수 Bn과 같다.
• 모든 집합 분할이 Patience Sorting에서 실제로 더미 구성으로 나타나며, 모든 더미 구성은 Sn(3-1-42)에 속하는 유일한 순열과 대응된다.
• Sn(3-1-42)에 속하는 순열의 역경로 단어는 그 더미 구성이 집합 분할과 일치하는 순열이며, 이를 통해 직접적인 대응 관계가 수립된다.
• 피하는 클래스 Sn(3-1-42)는 Sn(23-1)과 정확히 일치하며, 이는 일반화된 패턴 3-1-42와 23-1이 Wilf 등가이며 동일한 피하는 클래스를 가짐을 보여준다.
• 더미 구성에 의해 유도되는 순열 위의 등가관계 ≡PS는 고전적 패턴으로는 쉽게 기술할 수 없으며, 이는 Patience Sorting의 구조를 포괄하기 위해 일반화된 패턴이 유용함을 시사한다.
• 이 논문은 클래스 Sn(3-1-42)가 부분순열을 취하는 데 대해 닫혀 있지 않음을 보여주며, 이는 고전적 패턴만으로는 이를 기술할 수 없음을 설명한다.