[논문 리뷰] Combinatorics of $λ$-terms: a natural approach

Maciej Bendkowski, Katarzyna Grygiel외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 24.

Advanced Algebra and Logic인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 단항 de Bruijn 인덱스를 사용하여 $\lambda$-항에 대한 자연스러운 조합적 모델을 수립한다. 여기서 각 생성자(추상화, 응용, 0, 후행자)는 크기 1을 기여한다. 평범한 $\lambda$-항, 중립 형식, 진방향 없는 또는 검은백색 이진 트리 간에 구성적 이분사가 존재함을 증명하고, 점차적으로 거의 모든 $\lambda$-항이 고정된 부분항을 포함함을 보여, 강한 정규화 가능하고 유형 가능성이 있는 항들이 밀도 측면에서 무시할 만큼 작다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

We consider combinatorial aspects of $λ$-terms in the model based on de Bruijn indices where each building constructor is of size one. Surprisingly, the counting sequence for $λ$-terms corresponds also to two families of binary trees, namely black-white trees and zigzag-free ones. We provide a constructive proof of this fact by exhibiting appropriate bijections. Moreover, we identify the sequence of Motzkin numbers with the counting sequence for neutral $λ$-terms, giving a bijection which, in consequence, results in an exact-size sampler for the latter based on the exact-size sampler for Motzkin trees of Bodini et alli. Using the powerful theory of analytic combinatorics, we state several results concerning the asymptotic growth rate of $λ$-terms in neutral, normal, and head normal forms. Finally, we investigate the asymptotic density of $λ$-terms containing arbitrary fixed subterms showing that, inter alia, strongly normalising or typeable terms are asymptotically negligible in the set of all $λ$-terms.

연구 동기 및 목표

• 단항 de Bruijn 인덱스를 사용하여 각 문법 생성자가 크기에 1을 기여하는 자연스러운 크기 모델을 $\lambda$-항에 대해 개발한다.
• 흑백 트리나 진방향 없는 이진 트리와 같은 조합 구조와 $\lambda$-항 간의 구성적 이분사를 수립한다.
• 전체 $\lambda$-항 집합 내에서 핵심 $\lambda$-항 클래스—중립, 정규, 머리 정규, 강한 정규화 가능, 유형 가능 형태—의 점근 밀도를 분석한다.
• 이 모델에서 강한 정규화 가능하고 유형 가능한 $\lambda$-항이 점근적으로 무시 가능하다는 것을 보여주며, 이는 이전 모델에서 양의 밀도를 가졌던 것과 대비된다.

제안 방법

• 각 생성자(추상화, 응용, 0, 후행자)가 총 크기에 1을 기여하는 바탕이 되는 $\lambda$-항의 조합적 클래스를 정의한다. 이 크기는 생성자 수로 측정된다.
• 재귀적 분해를 사용하여 평범한 $\lambda$-항의 수를 세는 수열에 대한 힐로노믹 생성함수 방정식을 유도한다.
• 직접적인 크기 유지 이분사를 통해 $\lambda$-항과 흑백 이진 트리 간, 그리고 $\lambda$-항과 진방향 없는 이진 트리 간의 이분사를 수립한다.
• 중립 $\lambda$-항과 Motzkin 트리 간의 이분사를 수립함으로써, Motzkin 트리의 정확한 크기 샘플러를 사용하여 임의의 주어진 크기의 중립 $\lambda$-항을 생성할 수 있다.
• 해석 기하학적 조합론을 사용하여 생성함수의 주요 특이점을 분석하고, 다양한 $\lambda$-항 클래스의 점근적 성장률을 유도한다.
• 고정된 부분항 $M$을 포함하는 $\lambda$-항의 생성함수는 전체 $\lambda$-항 생성함수보다 수렴 반경이 엄밀히 크다는 것을 증명한다. 이는 그러한 항들이 점근 밀도 1을 가진다는 것을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단항 de Bruijn 인덱스를 기반으로 한 자연스러운 크기 모델 하에서 $\lambda$-항의 조합적 구조는 어떠한가?
• RQ2 흑백 트리나 진방향 없는 이진 트리와 같은 잘 알려진 조합 구조와 $\lambda$-항 간에 명시적 이분사가 존재하는가?
• RQ3 이 모델 하에서 중립, 정규, 머리 정규, 강한 정규화 가능한 $\lambda$-항의 점근 밀도는 전체 $\lambda$-항 집합 내에서 어떻게 되는가?
• RQ4 고정된 부분항 $M$을 포함하는 $\lambda$-항의 점근 밀도는 어떻게 행동하는가? 이는 비정규화 또는 비유형 가능 항의 퍼짐에 대해 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 이 자연스러운 크기 모델에서의 $\lambda$-항의 점근적 성질은 변수 크기를 忽시하거나 다르게 다루는 모델과 비교해 어떻게 다를까?

주요 결과

• 단항 de Bruijn 모델에서 $\lambda$-항의 수를 세는 수열은 흑백 이진 트리와 진방향 없는 이진 트리의 수열과 일치하며, 명시적인 크기 유지 이분사가 수립되었다.
• 중립 $\lambda$-항은 Motzkin 트리와 이분사 가능하며, 이는 Motzkin 트리의 정확한 크기 샘플러를 사용하여 주어진 크기의 중립 $\lambda$-항을 생성할 수 있음을 의미한다.
• 임의의 고정된 부분항 $M$을 포함하는 $\lambda$-항의 생성함수는 전체 $\lambda$-항 생성함수보다 수렴 반경이 엄밀히 크며, 이는 그러한 항들이 점근 밀도 1을 가진다는 것을 의미한다.
• 강한 정규화 가능한 $\lambda$-항, 정규 형식, 유형 가능한 항은 이 모델 하에서 전체 $\lambda$-항 집합 내에서 점근 밀도 0을 가진다.
• 중립, 정규, 머리 정규 형식의 $\lambda$-항의 점근 성장률은 해석 기하학적 조합론을 통해 결정되었으며, 특이점 분석을 통해 명시적인 상수들이 도출되었다.
• 이 모델은 이전 결과들과 모순되며, 강한 정규화 가능한 항의 양의 밀도를 보여주는 바, 자연스러운 크기 모델은 변수 인덱스 간 거리를 처벌함으로써 장거리 바인딩을 불가능하게 만든다.