[논문 리뷰] Combinatorics on permutation tableaux of type $A$ and type $B$

Sylvie Corteel, Jang Soo Kim|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 18.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 A형 순열 표기판의 무제한 열에 대한 생성함수에 대한 두 개의 전단사 증명을 제공하며, $ t = -1 $ 으로 특수화할 경우 부호 불균형 공식을 이끌어낸다. 이는 Corteel-Nadeau 전단사의 B형 순열 표기판으로의 확장을 통해 Lam과 Williams의 결과를 일반화하고, 두 전단사 모두 대체 표현 위의 진자 맵으로 표현함으로써 A형과 B형 간의 조합 구조를 통합한다.

ABSTRACT

We give another bijective proof of a result of Corteel and Nadeau. We find a generating function related to unrestricted columns of permutation tableaux. As a consequence, we obtain a sign-imbalance formula for permutation tableaux. We extend the first bijection of Corteel and Nadeau between permutations and permutation tableaux to type $B$ objects. Using this type $B$ bijection, we generalize a result of Lam and Williams. We prove that the bijection of Corteel and Nadeau and our type $B$ bijection can be expressed as zigzag maps on the alternative representation.

연구 동기 및 목표

• A형 순열 표기판의 무제한 열에 대한 생성함수에 대한 두 전단사 증명을 제공하기 위해.
• 생성함수를 $ t = -1 $ 에서 특수화하여 순열 표기판의 부호 불균형 공식을 유도하기 위해.
• Corteel-Nadeau 전단사를 A형에서 B형 순열 표기판으로 확장하기 위해.
• Lam과 Williams의 B형 순열 표기판에 대한 결과를 새로운 전단사를 통해 일반화하기 위해.
• 기존 전단사와 B형 전단사를 모두 순열 표기판의 대체 표현 위의 진자 맵으로 표현하기 위해.

제안 방법

• 무제한 열을 표현하기 위해 생성함수 $ \sum_{n \geq 0} \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} t^{\operatorname{urc}(T)} x^n = \frac{1 + E_t(x)}{1 + (t-1)x E_t(x)} $ 를 사용하며, 여기서 $ E_t(x) = \sum_{n \geq 1} n(t)_{n-1} x^n $ 이다.
• B형 순열 표기판과 B형 순열 간의 전단사 $ \Phi_{\mathrm{B}} $ 를 구성함으로써 Corteel-Nadeau 전단사를 확장한다.
• 상호작용 기호 $ \uparrow $, $ \leftarrow $ 를 사용하고 0과 1을 제거함으로써 순열 표기판의 대체 표현을 정의한다.
• 대체 표현 위에 정의된 진자 맵 $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} $ 를 도입하여 표기판을 부호가 있는 순열로 매핑한다.
• 다음 식을 증명한다: $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} = \varphi \circ \Phi_{\mathrm{B}} $, 여기서 $ \varphi $ 는 RL-최소값과 순환 분해를 통해 정의된다.
• 재귀 관계와 조합적 추론을 사용하여 생성함수와 그 특수 케이스를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 A형 순열 표기판의 무제한 열 수에 대한 생성함수를 전단사적으로 증명할 수 있는가?
• RQ2 부호 불균형 공식 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} \operatorname{sign}(T) = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2} $ 의 조합적 해석은 무엇인가?
• RQ3 Corteel-Nadeau 전단사는 순열과 A형 순열 표기판 간의 관계를 맺는다. 이를 B형 객체로 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 생성함수 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}_{\mathrm{B}}(n)} x^{\operatorname{urr}(T)-1} y^{\operatorname{top}_{0,1}(T)} z^{\operatorname{diag}(T)} = (1+z)^n (x+y)_{n-1} $ 는 전단사적 방법으로 유도될 수 있는가?
• RQ5 대체 표현 위의 진자 맵은 Corteel-Nadeau 전단사와 B형 전단사와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• A형 순열 표기판의 무제한 열에 대한 생성함수는 $ \sum_{n \geq 0} \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} t^{\operatorname{urc}(T)} x^n = \frac{1 + E_t(x)}{1 + (t-1)x E_t(x)} $ 이며, 여기서 $ E_t(x) = \sum_{n \geq 1} n(t)_{n-1} x^n $ 이다.
• t = 2 인 경우, 합 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} 2^{\operatorname{urc}(T)} $ 는 $ \{1,2,\dots,n+1\} $ 의 연결된 순열의 수와 일치하며, 이를 조합적 해석으로 제공한다.
• t = -1 인 경우, 부호 불균형 공식은 $ \sum_{T \in \mathcal{PT}(n)} \operatorname{sign}(T) = \frac{(1+i)^n + (1-i)^n}{2} $ 를 유도하며, 이는 $ n \equiv 0,1 \pmod{4} $ 이면 $ (-1)^k \cdot 2^{2k} $, $ n \equiv 2 \pmod{4} $ 이면 0, $ n \equiv 3 \pmod{4} $ 이면 $ (-1)^{k+1} \cdot 2^{2k+1} $ 로 평가된다.
• 전단사 $ \Phi_{\mathrm{B}} $ 는 Corteel-Nadeau 전단사를 B형 순열 표기판으로 확장하며, $ \sum_{T \in \mathcal{PT}_{\mathrm{B}}(n)} x^{\operatorname{urr}(T)-1} y^{\operatorname{top}_{0,1}(T)} z^{\operatorname{diag}(T)} = (1+z)^n (x+y)_{n-1} $ 를 만족하여 Lam과 Williams의 결과를 일반화한다.
• 대체 표현 위의 진자 맵 $ \zeta^{\rm alt}_{\mathrm{B}} $ 는 $ \varphi \circ \Phi_{\mathrm{B}} $ 와 일치하며, 여기서 $ \varphi $ 는 RL-최소값과 순환 분해를 통해 정의된다.
• A형 순열 표기판과 표준 양상 표기판의 부호 불균형의 절댓값은 $ n \not\equiv 2 \pmod{4} $ 일 때 $ 2^{\lfloor n/2 \rfloor} $ 와 같으며, 이는 더 깊은 조합적 연결성을 시사한다.