[논문 리뷰] Combining Gaussian processes and polynomial chaos expansions for stochastic nonlinear model predictive control

Eric Bradford, Lars Imsland|arXiv (Cornell University)|2021. 03. 09.

Advanced Control Systems Optimization참고 문헌 65인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 비선형 역학을 통해 확률적 불확실성을 정확하게 전파하기 위해 가우시안 프로세스(GPs)와 다항 혼합 전개(PCE)를 조합한 새로운 스토하스틱 비선형 모델 예측 제어(SNMPC) 프레임워크를 제안한다. GPs의 비선형성 처리 능력과 PCE의 스펙트럼 기반 불확실성 정량화 능력의 상호보완적 특성을 활용함으로써, 확률적 제약 조건과 확률적 목표 함수에 대한 평균과 분산을 효율적으로 계산할 수 있으며, 기존의 스칼라 변환 또는 다단계 프로그래밍과 비교해 제약 조건 이행률 향상과 보수성 감소를 크게 개선한다.

ABSTRACT

Model predictive control is an advanced control approach for multivariable systems with constraints, which is reliant on an accurate dynamic model. Most real dynamic models are however affected by uncertainties, which can lead to closed-loop performance deterioration and constraint violations. In this paper we introduce a new algorithm to explicitly consider time-invariant stochastic uncertainties in optimal control problems. The difficulty of propagating stochastic variables through nonlinear functions is dealt with by combining Gaussian processes with polynomial chaos expansions. The main novelty in this paper is to use this combination in an efficient fashion to obtain mean and variance estimates of nonlinear transformations. Using this algorithm, it is shown how to formulate both chance-constraints and a probabilistic objective for the optimal control problem. On a batch reactor case study we firstly verify the ability of the new approach to accurately approximate the probability distributions required. Secondly, a tractable stochastic nonlinear model predictive control approach is formulated with an economic objective to demonstrate the closed-loop performance of the method via Monte Carlo simulations.

연구 동기 및 목표

• 모델 예측 제어에서 비선형 동적 모델을 통해 확률적 매개변수 불확실성을 전파하는 데 도전하는 데 목적을 두며.
• 정확한 확률적 제약 조건과 목표 함수를 가능하게 함으로써 스토하스틱 비선형 MPC의 보수성을 감소시키는 데 목적을 두며.
• 기존 방법의 한계를 극복하기 위해, 스칼라 변환 또는 다단계 프로그래밍과 같은 기존 방법의 평균과 분산 추정 정확도 향상을 목적으로 한다.
• 실시간 적용에 적합한 계산 가능성을 유지하면서도 불확실성 하에서의 닫힌 루프 성능을 유지하는 계산적으로 타당한 SNMPC 프레임워크를 개발하는 데 목적을 두며.
• 몬테카를로 시뮬레이션과 비교 기준 분석을 통해 배치 반응기 사례 연구에서 방법을 검증하는 데 목적을 두며.

제안 방법

• 비선형 입력의 확률적 전이를 모델링하기 위해 가우시안 프로세스(GPs)와 다항 혼합 전개(PCE)를 조합한다.
• GPs는 불확실한 입력에서 출력으로의 비선형 맵핑을 학습하여 민첩한 함수 근사 능력을 제공한다.
• PCE는 GPs에 의해 학습된 함수에 적용되어 출력 분포의 평균과 분산을 해석적으로 계산한다.
• 결합된 GPPCE 접근법은 시스템 역학을 통해 불확실성을 효율적이고 정확하게 전파할 수 있도록 한다.
• 결과적으로 도출된 평균과 분산 추정치는 최적 제어 문제에서 확률적 제약 조건과 확률적 목표 함수를 설정하는 데 사용된다.
• GPPCE 프레임워크 내에서 계산 비용이 높은 항목을 사전에 계산하여 온라인 최적화 부담을 줄임으로써 계산 효율성을 향상시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 스칼라 변환과 같은 전통적 방법에 비해 GPs와 PCE의 조합이 비선형 스토하스틱 시스템에서 더 정확한 평균과 분산 추정치를 제공할 수 있는가?
• RQ2 GPPCE 기반 SNMPC는 노멀 NMPC, 다단계 NMPC, 스칼라 변환 기반 NMPC와 비교해 제약 조건 이행률과 계산 비용 측면에서 어떻게 다를 것인가?
• RQ3 정확한 불확실성 정량화가 스토하스틱 비선형 MPC에서 보수성을 얼마나 감소시키고 닫힌 루프 성능을 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 GPPCE 프레임워크는 실시간 적용에 적합한 계산 가능성과 타당성을 유지하면서 SNMPC 설정에 효율적으로 통합될 수 있는가?
• RQ5 다른 접근 방식에서 관찰되는 분산 추정의 정확도 저하에 비해 SNMPC 알고리즘의 성능은 얼마나 민감하게 영향을 받는가?

주요 결과

• GPPCE 기반 SNMPC는 5%의 확률적 제약 조건 허용 오차를 가짐에도 불구하고 400회의 몬테카를로 시뮬레이션에서 완벽한 제약 조건 이행률을 달성했으며, 위반 사례가 전혀 없었다.
• SNMPC 알고리즘의 평균 계산 시간은 최적 제어 문제당 2.868초였으며, 이는 노멀 NMPC보다 63배 길었지만 훨씬 더 신뢰할 수 있었다.
• 스칼라 변환 기반 NMPC는 평균적으로 OCP당 5.449초가 소요되었으며, 과도하게 추정된 분산으로 인해 SNMPC보다 거의 4배 긴 배치 시간을 기록했다.
• 다단계 NMPC는 온도 제약 조건을 상당히 위반하여, GPPCE 기반 접근 방식에 비해 중간 단계의 불확실성 실현값을 잘못 처리한 것으로 나타났다.
• GPPCE 방법은 스칼라 변환보다 더 정확한 평균과 분산 추정치를 제공했으며, 스칼라 변환은 체계적으로 분산을 과도하게 추정하여 과도한 보수성을 초래했다.
• GPPCE 항목을 사전 계산함으로써 온라인 계산 부담을 줄였으며, 정확도와 실시간 적용 가능성 사이의 실용적인 트레이드오���을 가능하게 했다.