[논문 리뷰] Comet and moon solutions in the time-dependent restricted $(n+1)$-body problem

Carlos Barrera-Anzaldo, Abimael Bengochea외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 10.

Spacecraft Dynamics and Control참고 문헌 33인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 행동 함수에 대한 라플라스-슐레프트 감소를 사용하여 시간에 따라 변하는 제한된 (n+1)-체 문제에서 주기적인 코메트 및 달 유사 궤도의 존재를 입증한다. 큰 진폭 궤도(코메트 해법)의 경우, 주파수 p/q와 진폭 ε⁻¹을 가진 2πq-주기 해가 적어도 두 개 존재함을 증명한다. 여기서 ε = (p/q)²/(α+1)이다. 작은 진폭 궤도(달 해법)의 경우, 주변 평형 조건 하에 주파수 p/q와 진폭 ε을 가진 2πq-주기 해가 적어도 두 개 존재함을 증명한다. 여기서 ε = (p/q)⁻²/(α+1)이다. 중력 경우 α=2는 대칭성 가정 하에 다루어지고, 네 개의 주체가 있는 슈퍼-이-eight 코리오그래피에 대해 반전 기법을 사용하여 수치적 해를 계산한다.

ABSTRACT

The time-dependent restricted $(n+1)$-body problem concerns the study of a massless body (satellite) under the influence of the gravitational field generated by $n$ primary bodies following a periodic solution of the $n$-body problem. We prove that the satellite has periodic solutions close to the large-amplitude circular orbits of the Kepler problem (comet solutions), and in the case that the primaries are in a relative equilibrium, close to small-amplitude circular orbits near a primary body (moon solutions). The comet and moon solutions are constructed with the application of a Lyapunov-Schmidt reduction to the action functional. In addition, using reversibility technics, we compute numerically the comet and moon solutions for the case of four primaries following the super-eight choreography.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 제한된 (n+1)-체 문제에서 n개의 주체가 일반적인 주기적 해를 따를 때 주기적인 코메트 및 달 해법의 존재를 입증한다.
• 일반적인 동차 잠재력 하에서 위성의 역학을 분석하며, 특히 큰 진폭(코메트)과 작은 진폭(달) 주기 궤도에 초점을 맞춘다.
• 시간에 따라 변하는 주체의 중력장이 왜곡으로 간주되는 고전적 케플러 문제 프레임워크를 확장한다.
• 특정 조건 하에 코메트 및 달 해법에 대한 분석적 존재 결과를 제공하며, 달 궤도의 경우 상대 평형 조건과 중력 경우(α=2)의 대칭성을 포함한다.
• 해석적 정리가 적용되지 않는 경우에도 반전 기법을 사용하여 이러한 궤도를 수치적으로 계산한다.

제안 방법

• 정규화된 행동 함수 A = A₀ + H에 대해 리아프노프-슐레프트 감소를 적용한다. 여기서 A₀는 케플러 행동 함수이고 H는 ε의 차수로 작은 왜곡이다.
• 푸리에 분석을 사용하여 A₀의 헤시안의 스펙트럼을 추정함으로써 유한 차원 임계점 문제로 감소시킨다.
• 큰 진폭 원형 케플러 궤도의 왜곡으로서 코메트 해법을 구성한다. 주파수는 p/q이고 진폭은 ε⁻¹이며, 여기서 ε = (p/q)²/(α+1)이다.
• 작은 진폭 궤도를 주체 근처에서의 왜곡으로서 달 해법을 구성한다. 주파수는 p/q이고 진폭은 ε이며, 여기서 ε = (p/q)⁻²/(α+1)이다. 주체가 상대 평형 조건을 만족한다고 가정한다.
• 운동 방정식에 반전 대칭성 Φ₁ˣ, Φ₁ʸ, Ψ₁ˣ, Ψ₁ʸ를 적용하여 고정점 조건을 갖는 경계값 문제를 정의한다.
• 초기 조건 (q₅, v₅) = (α, 0), (0, β)를 구하여 흐름이 φ₀(α,0,0,β) ∈ Fix(Φ₁ˣ) 또는 Fix(Ψ₁ˣ)이고 φₜ₀(α,0,0,β) ∈ Fix(Φ₁ʸ) 또는 Fix(Ψ₁ʸ)를 만족하도록 하여 주기 궤도를 수치적으로 계산한다. 여기서 T₀ = 4mT이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간에 따라 변하는 제한된 (n+1)-체 문제에서 주체로부터 멀리 떨어진 곳에서 주기적인 코메트 유사 해법이 존재하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 n개의 주체가 상대 평형 상태일 때, 주체 근처에서 주기적인 달 유사 해법이 존재할 수 있는가?
• RQ3 중력 경우(α=2)는 주기적 해법의 존재에 어떤 영향을 미치며, 추가로 필요한 대칭성 가정은 무엇인가?
• RQ4 분석적 정리가 적용되지 않는 경우 반전 기법을 사용하여 주기적인 코메트 및 달 궤도를 수치적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 네 개의 주체가 슈퍼-이-eight 코리오그래피에 있을 때, 질량이 없는 위성의 특정 초기 조건(위치 및 속도)은 무엇인가? 이 조건은 제한된 5체 문제에서 대칭적이고 주기적인 코메트 및 달 궤도를 유도한다.

주요 결과

• 모든 정수 p에 대해 정수 q₀가 존재하여 모든 q > q₀에 대해 코메트는 형태 q(t) = ε⁻¹e^J(θ+pt/q)x₀ + O(ε)를 가진 2πq-주기 해를 적어도 두 개 가진다. 여기서 ε = (p/q)²/(α+1), x₀ = (1,0) ∈ ℝ²이며, J는 심플렉틱 행렬이다.
• 모든 정수 q에 대해 정수 p₀가 존재하여 모든 p > p₀에 대해 달은 형태 q(t) = q₁(t) + εe^J(θ+pt/q)x₀ + O(ε³)를 가진 2πq-주기 해를 적어도 두 개 가진다. 여기서 ε = (p/q)⁻²/(α+1이며, 주체가 상대 평형 상태에 있다고 가정한다.
• 중력 경우(α=2)에서는 주체가 항상 m-다각형을 이루는 조건 하에 주기적 해법의 존재가 입증된다. 이는 n=4인 슈퍼-이-eight 코리오그래피에서 성립한다.
• 반전 대칭성을 사용한 경계값 문제의 해법을 통해 코메트 및 달 궤도를 수치적으로 계산할 수 있으며, T₀ = 4mT인 경우 주기 궤도가 발견된다.
• 위성에 대한 특정 초기 조건이 계산되었다: 코메트 궤도의 경우 (q₅, v₅) = (α, 0), (0, β)이며, α는 1.47에서 6.42 사이, β는 0.81에서 3.97 사이로 변한다. 달 궤도의 경우 동일한 형태로 대칭적 주기적 해가 얻어지며, T₀ = 4mT이다.
• 수치적 결과는 네 개의 주체가 슈퍼-이-eight 코리오그래피에 있을 때 제한된 5체 문제에서 대칭적이고 주기적인 코메트 및 달 궤도의 존재를 확인한다. 그림 1에 시각화되어 있다.