[논문 리뷰] Cometric Association Schemes

Brian G. Kodalen|arXiv (Cornell University)|2019. 05. 16.

graph theory and CDMA systems참고 문헌 83인용 수 5

한 줄 요약

이 학위논문은 공metric 연관 체계에 대해 그 구조, 실현 가능성 조건, 등각선과 상호 무편향 기저(MUB)와 같은 기하적 대상과의 연결성을 중심으로 조사한다. 3-클래스 및 4-클래스 공metric 체계에 대한 새로운 실현 가능성 조건을 수립하고, 연결된 단체와 실수 상호 무편향 기저를 통해 3-클래스 $Q$-반대칭 체계의 새로운 예를 구성하며, 3-클래스 $Q$-반대칭 체계와 특정 $t$-거리 집합 사이의 동치성을 증명한다.

ABSTRACT

One may think of a $d$-class association scheme as a $(d+1)$-dimensional matrix algebra over $\mathbb{R}$ closed under Schur products. In this context, an imprimitive scheme is one which admits a subalgebra of block matrices, also closed under the Schur product. Such systems of imprimitivity provide us with quotient schemes, smaller association schemes which are often easier to understand, providing useful information about the structure of the larger scheme. For any association scheme we find a basis of $d+1$ idempotent matrices for the algebra. A cometric scheme is one whose idempotent basis may be ordered $E_0,E_1,...,E_d$ with polynomials $f_0,f_1,...,f_d$ giving $f_i\circ(E_1)=E_i$ and deg$(f_i)=i$ for each $i$. Throughout this thesis we are primarily interested in three goals: building new examples of cometric schemes, drawing connections between cometric schemes and other objects, and finding new realizability conditions on feasible parameter sets --- using these conditions to rule out open parameter sets when possible. After introducing association schemes, this thesis focuses on a few recent results regarding cometric schemes with small $d$. We begin by examining the matrix algebra, looking for low rank positive semidefinite matrices with few distinct entries and later establishing new conditions on realizable parameter sets. We then focus on imprimitive examples of both 3- and 4-class cometric schemes, generating new examples of the former while building realizability conditions for both. In each case, we examine the related $t$-distance sets, giving conditions which work towards equivalence; in the case of 3-class $Q$-antipodal schemes an equivalence is established. We conclude by partially extending a result of Brouwer and Koolen concerning the connectivity of graphs arising from metric schemes.

연구 동기 및 목표

• 공metric 연관 체계, 특히 3-클래스 $Q$-반대칭 체계의 새로운 예를 구성하기.
• 공metric 체계와 등각선, 실수 상호 무편향 기저(MUB)와 같은 기하적 대상 간의 연결 고리 수립.
• 공metric 체계의 타당한 매개변수 집합에 대한 새로운 실현 가능성 조건 유도, 특히 비순수 체계의 경우에 중점.
• 메트릭 연관 체계에서 기본 관계의 연결성에 관한 결과를 확장하여 브라우어와 쿨렌의 작업을 일반화하기.
• 특히 3-클래스 $Q$-반대칭 케이스에서 $t$-거리 집합을 공metric 체계의 관점에서 분류하고 분석하기.

제안 방법

• 각도 $i$에 대해 $f_i(E_1) = E_i$인 다항식 사상 $f_i$를 사용하여 공metric 체계의 보스-메스너 대수를 고유벡터 기저로 분석.
• 정수값을 갖는 소수 개수의 정부호 정반비례 행렬에 대해 술렌베르크의 정리를 적용하여 타당성 제약 조건 유도.
• 거시엔더 다항식과 내적 구조를 사용하여 $t$-거리 집합과 그 기하적 실현을 모델링.
• 동차 연결 대칭 설계 시스템(LSSD)과 실수 MUB를 이용해 3-클래스 $Q$-반대칭 체계 구성.
• 스펙트럼 그래프 이론과 그래프 호모모르피즘 $\varphi_a$를 적용하여 메트릭 체계에서 기본 관계의 연결성 연구.
• 매개변수 분석과 수론적 추론(예: $q^{3m-2}$와 $q^m \mp 1$의 상대적 소수성)을 사용해 일부 매개변수 가족의 정수성 배제.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 3-클래스 및 4-클래스 공metric 체계에 대한 타당한 매개변수 집합 중 실제로 실현 가능한 것은 무엇인가?
• RQ2 3-클래스 $Q$-반대칭 공metric 체계와 등각선과 같은 특정 $t$-거리 집합 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ3 실수 상호 무편향 기저 또는 연결된 단체로부터 3-클래스 $Q$-반대칭 체계의 새로운 예를 구성할 수 있는가?
• RQ4 기존의 LSSD 매개변수 집합 가족에서 $\nu$의 정수성에 필요한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ5 메트릭 연관 체계에서 기본 관계의 연결성은 체계의 구조와 그 몫의 성질과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 $m$에 대해 정수성 조건을 만족하는 LSSD 매개변수 집합의 가족은 6, 7, 9, 13, 14뿐이며, 가족 12, 15–19는 $m=1$일 때만 타당하다.
• $m=1$일 경우 가족 16–19의 매개변수 집합은 $\mu$-또는 $\nu$-중요 매개변수를 가진 채로 타당하지만, $m>1$일 경우 $q^{3m-2}$와 $q^m \mp 1$의 상대적 소수성으로 인해 정수성이 성립하지 않는다.
• 가족 20은 정수성이 성립하지 않는데, $n = 2^{2dm-d-1}(2^d-1)$이 제곱수일 수 없기 때문이다. 이는 $2^d-1$이 제곱수여야 하는데, $d \geq 2$일 경우 불가능하다.
• 가족 21은 정수성이 성립하지 않는데, 분모의 크기와 분자와의 서로소성으로 인해 $\nu = \frac{(2t-1)^{3m+1}(q-1)}{4((2t-1)^{m+1} \mp 1)}$가 절대 정수가 되지 않기 때문이다.
• 3-클래스 $Q$-반대칭 공metric 체계와 특정 $t$-거리 집합 사이의 동치성이 확립되었으며, 특히 연결된 단체의 경우에 해당된다.
• 브라우어와 쿨렌의 연결성 결과를 확장하여, 메트릭 체계에서 기본 관계가 특정 스펙트럼 및 구조 조건을 만족할 경우에도 연결성을 유지함을 보였다.