[논문 리뷰] Comical sets: a cubical model for $(\infty, n)$-categories

Tim Campion, Chris Kapulkin외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 15.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 Verity의 컴플리셜 세트와 유사하게 연결을 가진 마킹된 입방체 집합을 사용하여 $(\infty,n)$-범주를 위한 새로운 모델을 제안한다. 이는 결합적이고 이원적으로 닫힌 그레이 곱을 갖는 단순한 모델 구조를 수립하며, 사전-컴플리셜 세트로의 삼등분 변환 함자(triangulation functor)가 강한 단순한 왼쪽 쿠렌 함자임을 증명한다.

ABSTRACT

We propose a new model for the theory of $(\infty,n)$-categories (including the case $n=\infty$) in the category of marked cubical sets with connections, similar in flavor to complicial sets of Verity. The model structure characterizing our model is shown to be monoidal with respect to suitably defined (lax and pseudo) Gray tensor products; in particular, these tensor products are both associative and biclosed. Furthermore, we show that the triangulation functor to pre-complicial sets is a left Quillen functor and is strong monoidal with respect to both Gray tensor products.

연구 동기 및 목표

• 모든 $n=\infty$ 경우로 확장 가능한, 새로운 입방체 기반의 $(\infty,n)$-범주 모델을 개발하는 것.
• $(\infty,n)$-범주의 호모토피적 성질을 반영하는, 연결을 가진 마킹된 입방체 집합 위에 모델 구조를 정의하는 것.
• 결합적이고 이원적으로 닫힌 그레이 곱을 통해 이 모델에 단순한 구조를 부여하는 것.
• 마킹된 입방체 집합에서 사전-컴플리셜 세트로의 삼등분 변환 함자가 단순한 구조를 유지하고, 왼쪽 쿠렌 함자임을 입증하는 것.

제안 방법

• 컴플리셜 세트의 프레임워크를 확장하여, $(\infty,n)$-범주를 모델링하기 위해 연결을 가진 마킹된 입방체 집합을 사용한다.
• 마킹된 입방체 집합의 범주에서 릿지(weak)와 편의적(pseudo) 그레이 곱을 정의한다.
• 두 그레이 곱 모두 결합적이고 이원적으로 닫혀 있음을 증명하여, 잘 정의된 단순한 구조를 확보한다.
• 마킹된 입방체 집합에서 사전-컴플리셜 세트로의 삼등분 변환 함자를 정의한다.
• 마킹된 입방체 집합 위의 모델 구조에 대해 삼등분 변환 함자가 왼쪽 쿠렌 함자임을 보인다.
• 삼등분 변환 함자가 릿지 및 편의적 그레이 곱에 대해 강한 단순 함자임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연결을 가진 마킹된 입방체 집합을 사용하여, 잘 정의된 단순한 구조를 갖는 입방체 모델을 통해 $(\infty,n)$-범주를 구성할 수 있는가?
• RQ2 이 모델 구조에서 릿지 및 편의적 그레이 곱이 결합적이고 이원적으로 닫혀 있는가?
• RQ3 마킹된 입방체 집합에서 사전-컴플리셜 세트로의 삼등분 변환 함자는 왼쪽 쿠렌 함자인가?
• RQ4 삼등분 변환 함자는 릿지 및 편의적 그레이 곱에 대해 강한 단순 함자인가?
• RQ5 이 입방체 모델은 Verity의 컴플리셜 세트와 같은 기존 모델과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 마킹된 입방체 집합 위의 모델 구조는 릿지 및 편의적 그레이 곱에 대해 단순한 구조를 갖는다.
• 두 그레이 곱 모두 결합적이고 이원적으로 닫혀 있어, 고차 범주론적 연산과의 호환성을 보장한다.
• 사전-컴플리셜 세트로의 삼등분 변환 함자는 왼쪽 쿠렌 함자이며, 새로운 모델이 기존의 컴플리셜 이론과 연결된다.
• 삼등분 변환 함자는 릿지 및 편의적 그레이 곱에 대해 강한 단순 함자이며, 단순한 구조를 유지한다.
• 이 모델은 컴플리셜 세트의 입방체적 대체 모델로서, $(\infty,n)$-범주에 대해 일관된 단순한 구조를 제공한다.
• 이 구성은 자연스럽게 $n=\infty$ 경우로 확장되어 고차 범주론에 대한 통합된 프레임워크를 제공한다.