[논문 리뷰] Commensurability of groups quasi-isometric to RAAG's

Jingyin Huang|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 28.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 16인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 오른쪽 각을 가진 아르틴 군(RAAG)과 준동형인 군들이 그와 공변하는 조건을 규명한다. 만약 RAAG의 외부자기동형군이 유한하고, 정의 그래프에 유도된 4사이클이 없으며, 스타-강성(star-rigidity)이 있다면, 그와 준동형인 모든 유한생성 군은 공변하다고 증명한다. 이 결과는 날카로운 결과이며, 유도된 4사이클이 존재할 경우 준동형이지만 공변하지 않은 군이 존재하므로 그 조건이 필수적임을 보여준다.

ABSTRACT

Let $G$ be a right-angled Artin group with defining graph $Γ$ and let $H$ be a finitely generated group quasi-isometric to $G(Γ)$. We show if $G$ satisfies (1) its outer automorphism group is finite; (2) $Γ$ does not have induced 4-cycle; (3) $Γ$ is star-rigid; then $H$ is commensurable to $G$. We show condition (2) is sharp in the sense that if $Γ$ contains an induced 4-cycle, then there exists an $H$ quasi-isometric to $G(Γ)$ but not commensurable to $G(Γ)$. Moreover, one can drop condition (1) if $H$ is a uniform lattice acting on the universal cover of the Salvetti complex of $G(Γ)$. As a consequence, we obtain a conjugation theorem for such uniform lattices. The ingredients of the proof include a blow-up building construction in \cite{cubulation} and a Haglund-Wise style combination theorem for certain class of special cube complexes. However, in most of our cases, relative hyperbolicity is absent, so we need new ingredients for the combination theorem.

연구 동기 및 목표

• 오른쪽 각을 가진 아르틴 군(RAAG)과 준동형인 군들이 그와 공변이 되는 조건을 규명하는 것.
• RAAG의 정의 그래프에 대한 기하학적 및 조합적 조건을 특정하여 공변성 강성을 보장하는 것.
• 유도된 4사이클의 부재가 날카로운 조건임을 보여주며, 그 존재가 준동형이지만 공변하지 않은 군을 허용함을 보여주는 것.
• 유니버설 커브의 샐베티 복합체의 균일 격자에 작용하는 군들에 대한 공轭 정리를 수립하는 것.
• 상대적 히퍼볼릭성이 실패하는 비-하이퍼볼릭 환경으로 특수 큐브 복합체에 대한 조합 정리를 확장하는 것.

제안 방법

• 이전 연구에서 유래한 블로우업 빌딩 구조를 활용하여 RAAG과 준동형인 군의 기하학을 모델링하는 데 사용한다.
• 하글룬드-바이즈 스타일의 특수 큐브 복합체에 대한 조합 정리를 비-상대 히퍼볼릭 환경에 적응하여 적용한다.
• 카르탕-0(CAT(0)) 큐브 복합체 위에서 군 작용을 분석하기 위해 샐베티 복합체의 유니버설 커브를 기반으로 한 기하 모델을 활용한다.
• 홀로노미가 자명한 분기 복합체에서 수축 영역을 제어하기 위한 제어 메커니즘을 도입하여 군 작용을 관리한다.
• 유한 커버를 분기 복합체에 구축하여 유한 첨수 부분군을 실현하고 공변성을 분석한다.
• 특수 큐브 복합체 이론을 활용하여 RAAG 내의 유한 첨수 부분군과 그 임베딩 성질을 연구한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 정의 그래프 Γ에 어떤 조건이 성립할 경우 RAAG G(Γ)가 준동형 군들이 모두 G(Γ)와 공변이 되는 준동형 강성(quasi-isometric rigidity)을 가지는가?
• RQ2 정의 그래프 Γ에 유도된 4사이클이 포함되어 있을 경우 공변성 강성은 어떻게 변하는가?
• RQ3 만약 군 H가 X(Γ)의 자동군 Aut(X(Γ)) 내의 균일 격자라면, 유한 외부자기동형군 조건을 완화할 수 있는가?
• RQ4 상대적 히퍼볼릭성이 실패하는 비-하이퍼볼릭 환경으로 특수 큐브 복합체에 대한 조합 정리를 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ5 분기 복합체의 홀로노미와 그 위에 작용하는 군들의 공변성 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• RAAG G(Γ)의 Out(G(Γ))가 유한하고, Γ에 유도된 4사이클이 없으며, Γ가 스타-강성(star-rigidity)을 갖는다면, G(Γ)와 준동형인 모든 유한생성 군 H는 G(Γ)와 공변이다.
• 유도된 4사이클의 부재는 날카로운 조건이다. 만약 Γ에 유도된 4사이클이 존재한다면, G(Γ)와 준동형이지만 공변하지 않은 군 H가 존재한다.
• 만약 H가 G(Γ)의 샐베티 복합체의 유니버설 커브 위에서 작용하는 균일 격자이면, 유한 외부자기동형군 조건을 제거할 수 있다.
• 주어진 조건 하에서 이러한 균일 격자에 대해 공轭 정리를 수립하여, 그들이 Aut(X(Γ)) 내에서 서로 공轭임을 보였다.
• 상대적 히퍼볼릭성이 실패하는 비-상대 히퍼볼릭 환경에서 조합 정리에 대한 새로운 기법을 도입하여 기존 특수 큐브 복합체 이론의 결과를 확장하였다.
• 홀로노미가 자명한 분기 복합체의 유한 커버를 구성함으로써 수축 영역을 제어할 수 있었고, 이는 공변성 결과를 뒷받침하는 데 기여하였다.