[논문 리뷰] Comment on 'Application of nonlinear deformation algebra to a physical system with Poschl-Teller potential'

C. Quesne|arXiv (Cornell University)|1999. 01. 01.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics참고 문헌 1인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Pöschl-Teller 잠재력에 적용된 비선형 변형 대수에서 핵심 defining 관계를 수정하며, 이전에 주장된 관계가 유한한 정사각형 우물 한계(ν → 1)에서만 유효하다는 것을 보여준다. 저자들은 일반적인 형태를 도출하고, su(1,1)과의 일관된 연결 고리를 확립하며, 고유함수 정규화 상수를 대수적으로 계산함으로써 Chen, Liu, 및 Ge의 원래 기법에서 발생한 모순을 해결한다.

ABSTRACT

We comment on a recent paper by Chen, Liu, and Ge (J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1998) 6473), wherein a nonlinear deformation of su(1,1) involving two deforming functions is realized in the exactly solvable quantummechanical problem with Poschl-Teller potential, and is used to derive the well-known su(1,1) spectrum-generating algebra of this problem. We show that one of the defining relations of the nonlinear algebra, presented by the authors, is only valid in the limiting case of an infinite square well, and we determine the correct relation in the general case. We also use it to establish the correct link with su(1,1), as well as to provide an algebraic derivation of the eigenfunction normalization constant. Short title: Application of nonlinear deformation algebra PACS: 02.10.Tq, 03.65.Fd Directeur de recherches FNRS E-mail address: [e-mail] 1 In an interesting paper (henceforth referred to as I and whose equations will be quoted by their number preceded by I), Chen, Liu, and Ge [1] recently pointed out that the nonlinear deformations of the su(2) and su(1,1) Lie algebras with two deforming functions f(J0) and g(J0), introduced by Delbecq and Quesne [2], can find some useful applications in quantum mechanics. They indeed claim to have proved that one of such algebras can be realized in a physical system with Poschl-Teller potential, which is one of the exactly solvable one-dimensional quantum-mechanical potentials. By starting from the ‘natural’ quantum operatorsX, P of Nieto and Simmons [3], they constructed mutually adjoint lowering and raising operators b, b, which together with the Hamiltonian H generate a nonlinear algebra with two deforming functions f(H) and g(H). They also obtained the eigenvalues and (unnormalized) eigenfunctions ofH by using this algebra instead of solving the Schrodinger equation, and pointed out a relation with the well-known su(1,1) symmetry of the Poschl-Teller potential (see [4] ans references quoted therein). In the present comment, we want to show that one of the defining relations of the nonlinear algebra, as given in I, is not entirely correct, and should actually contain an additional term, which only disappears in the ν → 1 limit, corresponding to an infinite square well. In support of the amended relation, we will prove that it allows us to algebraically derive the known eigenfunction normalization constant [5]. Finally, we will establish the correct relation between the nonlinear algebra and su(1,1). Let H , b, b be defined as in I by H = p 2m + V (x) V (x) = V0 cos2(kx) V0 = ǫν(ν − 1) ǫ = hk2 2m (1) b = 1 2ǫ [

연구 동기 및 목표

• 비선형 변형 대수에 사용된 Pöschl-Teller 잠재력에 대한 잘못된 정의 관계를 특정하고 수정하는 것.
• 일반적인 경우에서 비선형 변형 대수와 표준 su(1,1) 대수 간의 정확한 대수적 연결 고리를 확립하는 것.
• 수정된 대수적 구조를 사용하여 고유함수 정규화 상수를 대수적으로 유도하는 것.
• Chen, Liu, 및 Ge가 제시한 원래 관계가 무한한 정사각형 우물 한계(ν → 1)에서만 유효하다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• Pöschl-Teller 잠재력에서 내림 및 올림 연산자 b와 b†의 구조를 분석하여 비선형 대수의 정의 관계의 올바른 형태를 유도하는 것.
• 수정된 대수적 관계를 사용하여 기존의 알려진 고유함수 정규화 상수를 대수적 방법으로 재구성하는 것.
• Chen 등이 제시한 원래 관계와 수정된 관계를 비교하여, 추가 항이 ν → 1일 때에만 소멸한다는 것을 보여주는 것.
• 일반적인 경우에서 비선형 변형 대수와 표준 su(1,1) 대수 간의 일관된 연결 고리를 확립하는 것.
• 수정된 관계가 슈뢰딩거 방정식을 풀지 않고도 스펙트럼을 유도하는 데 필요한 대수적 구조를 유지한다는 것을 검증하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원본 논문에서 제시된 비선형 변형 대수의 정의 관계가 잠재력 매개변수 ν의 모든 값에 대해 유효한가, 아니면 특정 한계 경우에만 유효한가?
• RQ2 일반적인 Pöschl-Teller 잠재력의 경우에서 비선형 대수의 정의 관계의 정확한 형태는 무엇인가?
• RQ3 수정된 비선형 대수를 사용하여 고유함수 정규화 상수를 어떻게 대수적으로 유도할 수 있는가?
• RQ4 이 시스템에서 비선형 변형 대수와 표준 su(1,1) 대수 간의 정확한 대수적 관계는 무엇인가?

주요 결과

• Chen, Liu, 및 Ge가 제시한 비선형 대수의 정의 관계는 일반적인 경우에서 잘못되었으며, 고려되지 않은 추가 항을 포함하고 있다.
• 정확한 관계는 ν → 1인 한계 경우에만 원래의 관계로 줄어들며, 이는 무한한 정사각형 우물 잠재력에 해당한다.
• 수정된 대수적 구조는 알려진 고유함수 정규화 상수를 일관되고 대수적으로 유도할 수 있도록 한다.
• 비선형 변형 대수는 수정된 관계를 통해 표준 su(1,1) 대수와 올바르게 연결되어 있으며, 물리적 해석을 유지한다.