[논문 리뷰] Comment on "Entanglement growth in diffusive systems"

Tibor Rakovszky, Frank Pollmann외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 15.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 2인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Žnidarič (2020)가 비선형 시스템에서 높은 Rényi 엔트로피가 일반적으로 구배로 증가한다고 주장한 바를 도전하며, 오히려 하위-구배 √t 증가가 훨씬 광범위하다는 것을 보여준다. U(1) 대칭성을 가지는 q=3 무작위 회로 모델을 사용하여, 일정한 밀도가 없는 영역이 동적으로 비활성 상태인 '고정 영역 조건'으로 인해 엔트로피 S₂가 √t로 증가함을 입증함으로써, 이 √t 스케일링이 스핀-1/2 시스템이나 고차원에서의 일반성에 이르기까지 견고하다는 것을 확인한다.

ABSTRACT

In a recent paper (Commun. Phys. 3, 100) Znidaric studies the growth of higher Renyi entropies in diffusive systems and claims that they generically grow ballistically in time, except for spin-1/2 models in d=1 dimension. Here, we point out that the necessary conditions for sub-ballistic growth of Renyi entropies are in fact much more general, and apply to a large class of systems, including experimentally relevant ones in arbitrary dimension and with larger local Hilbert spaces.

연구 동기 및 목표

• Žnidarič (2020)가 q>2 국소 힐베르트 공간 차원을 가진 대부분의 비선형 시스템에서 높은 Rényi 엔트로피(Sα>1)가 구배로 증가한다고 주장한 바를 도전한다.
• 비선형 시스템에서 Rényi 엔트로피의 하위-구배 √t 증가가 q=2 스핀-1/2 시스템에 국한되지 않고, 단일 U(1) 대칭성과 고정 영역 조건을 가진 시스템에 일반적으로 적용된다는 것을 입증한다.
• 고정 영역 조건(일부 구성이 대칭성으로 인해 동적으로 비활성화되는 조건)이 √t 증가를 가능하게 하는 핵심 요인임을 명확히 하며, 국소 힐베르트 공간의 크기 q는 아님을 강조한다.
• 이전 연구들 간의 시간 단위 스케일링 불일치를 해결하며, 표준 미세시계 단위를 사용할 경우 비선형 성장은 체계 크기와 무관한 시각에서 시작됨을 보여준다.
• e^{S₂}를 상태 복잡성의 척도로 오해하지 말 것과 동시에, 높은 Rényi 엔트로피가 전체 상태 정보를 반영하는 것이 아니라 주로 최대 고유값의 행동을 반영한다는 점을 강조한다.

제안 방법

• 국소 자유도 q=3(빈, 위, 아래)를 가지며 총 입자 수를 보존하는 U(1) 대칭성을 가지는 무작위 회로 모델을 구성한다.
• 이 모델에서 두 번째 Rényi 엔트로피 S₂의 안내 평균을 수치적으로 평가하며, 빈 자리가 포함된 상태와 포함되지 않은 상태를 비교한다.
• 고정 영역 조건(FRC) 형식을 적용: 체계가 블록 대각형 시간 진화에서 어떤 체계 크기에도 관계없이 일부 블록이 오직 한 상태만을 가지면 FRC를 만족한다.
• Huang (2019)와 Rakovszky 등(2019)의 분석 프레임워크를 q>2 시스템으로 확장하여, FRC 하에서 √t 증가가 유지됨을 보여준다.
• Žnidarič (2020)의 시간 스케일링을 재해석하기 위해 체계 크기에 의존하는 시간 단위에서 표준 미세시계 단위로 변환함으로써 내재된 비선형 동역학을 드러낸다.
• 보존되는 밀도의 산물에서 기인하는 (S_j^z)^2와 같은 연산자의 급격한 감쇠가 아닌, 수소다이나믹스 꼬리로 인한 급격한 감쇠가 아니라, √t 증가가 지속되는 이유를 설명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Žnidarič (2020)의 주장처럼, 비선형 시스템에서 높은 Rényi 엔트로피 Sα>1의 하위-구배 √t 증가는 진정으로 q=2 스핀-1/2 모델에 국한되는가?
• RQ2 고정 영역 조건(FRC)만으로도 국소 힐베르트 공간 차원 q에 관계없이 U(1)-대칭 시스템에서 Rényi 엔트로피의 √t 증가를 보장할 수 있는가?
• RQ3 왜 Žnidarič (2020)의 수치 결과는 유한 체계 효과를 보이며, 시간 단위 스케일링은 엔트로피 증가 동역학의 해석에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 q>2 시스템에서 보존되는 밀도의 곱으로 기인하는 (S_j^z)^2와 같은 연산자의 급격한 감쇠가 √t 엔트로피 증가에 기여하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ5 e^{S₂}를 계산 복잡성의 척도로 해석하는 것이 정당한가, 아니면 상태의 정보 내용을 잘못 반영하는가?

주요 결과

• U(1) 대칭성을 가지는 q=3 무작위 회로 모델에서 안내 평균 S₂를 수치적으로 평가한 결과, 빈, 위, 아래 상태를 모두 포함하는 일반적인 초기 상태에서 √t 증가가 관찰되었으며, 이는 Žnidarič (2020)의 구배 t-증가 예측과 정면으로 배치된다.
• 고정 영역 조건(FRC)이 √t 엔트로피 증가를 가능하게 하는 핵심 물리적 메커니즘이며, q의 값은 아님을 규명함. FRC는 S^z 보존이 있는 스핀-S 시스템과 입자 수 보존이 있는 페르미온/하드코어 보존 시스템 모두에서 성립한다.
• FRC는 d=1이나 q=2에 국한되지 않으며, 임의의 차원에서 실험적으로 관련된 광범위한 시스템에 적용 가능함. 스핀 체인, U→∞ 근처의 페르미온 허버드 모델, 부분 대칭 보존이 있는 이중 래버 시스템 등 포함.
• Žnidarič (2020)와의 불일치는 (S_j^z)^2와 같은 연산자가 보존되지 않으면서도 지수 감쇠가 일어나지 않는다는 잘못된 가정에서 비롯되며, 실제로는 보존되는 밀도의 수소다이나믹스 꼬리로 인해 급격한 감쇠가 발생함으로써 √t 증가가 지속됨을 보여준다.
• 시간을 체계 크기에 의존하는 단위에서 표준 미세시계 단위로 변환하면, 비선형 √t 증가는 체계 크기와 무관한 시각에서 시작되며, 이는 이전 연구에서 관찰된 유한 체계 효과를 해소한다.
• e^{S₂}를 계산 복잡성의 척도로 해석하는 것은 오해일 수 있음. S₂는 감소된 밀도 행렬의 최대 고유값에 의해 지배되며, 저차수 Rényi 엔트로피(Sα≤1)가 전체 상태 복잡성의 더 좋은 특성화를 제공함을 강조함. 이는 비선형 시스템에서도 시간에 따라 선형적으로 증가하기 때문이다.