[논문 리뷰] Comment on "Essential discreteness in generalized thermostatistics with non-logarithmic entropy" by S. Abe

G. Baris Bagci, Thomas Oikonomou외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 07.

Statistical Mechanics and Entropy참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비확장 통계역학에서 q-엔트로피가 본질적으로 이산적이며 연속 변수로 일반화될 수 없다는 S. Abe의 주장을 도전한다. 보른볼츠-지브스 엔트로피에 사용된 체계를 q-엔트로피로 확장하기 위해 q-일반화 측도 m_q(x)를 도입함으로써, 차원이 없는, 좌표변환에 대해 불변인 q-상대엔트로피로서 연속 q-엔트로피를 유도한다. 핵심 결과는 q-엔트로피가 이산계와 연속계 양쪽 모두에서 동일하게 타당하다는 것이며, 이는 일반화된 열역학통계학의 기초적 문제를 해결한다.

ABSTRACT

Recently Abe (arXiv:cond-mat/1005.5110v1) claimed that the q-entropy of nonextensive statistical mechanics cannot be generalized for the continuous variables and therefore can be used only in the discrete case. In this letter, we show that the discrete q-entropy can be generalized to continuous variables exactly in the same manner as Boltzmann-Gibbs entropy, contrary to the claim by Abe, so that q-entropy can be used with discrete as well as continuous variables.

연구 동기 및 목표

• S. Abe의 주장, 즉 q-엔트로피가 연속 변수로 일반화될 수 없다는 것을 반박하기 위해.
• 보른볼츠-지브스 엔트로피의 연속적 체계를 비확장적 q-엔트로피로 확장하기 위해 q-일반화 측도 m_q(x)를 사용하는 체계를 확장하기 위해.
• 유도된 연속 q-엔트로피가 차원이 없고 좌표변환에 대해 불변임을 보여주기 위해, 이는 보른볼츠-지브스 경우와 동일하다.
• 이전 연구에서 연속 q-엔트로피가 정의되지 않거나 발산한다는 불일치 문제를 해결하기 위해.

제안 방법

• 비확장성에 대응하기 위해 q-일반화 측도 m_q(x_i)를 도입함으로써, 이산 BG 엔트로피를 연속 변수로 확장하는 표준 절차를 변형한다.
• n→∞ 근사에서 p_i = ρ(x_i)/(n m_q(x_i))의 관계를 사용하여 이산 확률를 연속 밀도로 매핑한다.
• q-로그 함수 ln_{2−q}(x) = (x^{1−q}−1)/(1−q)를 사용하여 확률 밀도로 이산 q-엔트로피를 정의한다.
• 연속 q-엔트로피를 S_q = −∫dx ρ(x) ln_{2−q}(ρ(x)/m(x))로 유도하며, 이는 q-상대엔트로피이다.
• 다만, 유일하게 물리적으로 측정 가능한 것은 엔트로피의 차이이므로, n→∞ 근사에서 발산하는 항 ln_{2−q}(n)을 생략한다.
• 연속 q-엔트로피가 차원이 없고 좌표변환에 대해 불변임을 보여줌으로써 결과를 검증한다. 이는 보른볼츠-지브스 경우와 동일하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비확장 통계역학의 q-엔트로피는 보른볼츠-지브스 엔트로피처럼 연속 변수로 일관적으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 연속 q-엔트로피는 차원 문제와 불변성 부족 등의 문제로 인해 표준 연속 BG 엔트로피와 같은 문제를 겪는가?
• RQ3 이산 q-엔트로피의 n→∞ 근사에서 발생하는 발산 항은 물리적으로 의미 있는가, 아니면 일관되게 생략할 수 있는가?
• RQ4 유도된 연속 q-엔트로피는 차원이 없고 좌표변환에 대해 불변이라는 핵심 물리적 성질을 유지하는가?

주요 결과

• 연속 q-엔트로피는 S_q = −∫dx ρ(x) ln_{2−q}(ρ(x)/m(x))로 유도되며, 이는 q-상대엔트로피이자 차원이 없다.
• n→∞ 근사에서 발생하는 발산 항 ln_{2−q}(n)은 유일하게 측정 가능한 것은 엔트로피의 차이이므로 생략되며, 이는 비물리적 발산 문제를 해결한다.
• 유도된 연속 q-엔트로피는 보른볼츠-지브스 엔트로피와 마찬가지로 연속 변수의 재매개변수화에 대해 불변이다.
• 이 체계는 수학적으로 일관되고 물리적으로 의미 있는 방식으로 BG 엔트로피의 확장을 q-엔트로피로 일반화한다.
• 따라서 q-엔트로피는 이산계와 연속계 양쪽 모두에서 유효하며, Abe의 본질적 이산성 주장과 정면으로 배치된다.