[논문 리뷰] Comment on "Foundation of Statistical Mechanics under Experimentally Realistic Conditions"

Zhexuan Gong, Luming Duan|arXiv (Cornell University)|2011. 09. 22.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Reimann(2008)의 주장에 도전하며, 고립된 양자 다체계가 일반 조건 하에서 평형에 도달한다는 핵심 주장을 시간 평균 분산 경계 증명의 심각한 결함으로 밝혀낸다. 저자들은 실험적으로 현실적인 조건에서 시간 평균에 기여하는 항목이 대각항($j=n, k=m$)뿐이라고 가정하는 것이 타당하지 않음을 입증한다. 이는 에너지 스펙트럼이 밀도가 매우 높아지며 지수적으로 많은 근접 공진항이 존재하기 때문이며, 이에 따라 분산의 지수적 감소가 정당화되지 못함을 시사한다.

ABSTRACT

Reimann [Phys. Rev. Lett. 101, 190403 (2008)] claimed that generic isolated macroscopic quantum system will equilibrate under experimentally realistic conditions by proving a theorem. We here show that the proof is invalid for most many-body systems and is unable to demonstrate equilibration in realistic experiment.

연구 동기 및 목표

• Reimann(2008)의 고립된 양자 다체계에 대한 평형 증명에서 심각한 결함을 규명하고 노출하는 것.
• 시간 평균 분산에 기여하는 항목이 대각항($j=n, k=m$)뿐이라고 가정하는 것이 실험적으로 현실적인 조건 하에서 타당하지 않음을 입증하는 것.
• 다체계의 에너지 스펙트럼이 지수적으로 농축되어 있어 비대칭항의 수가 기하급수적으로 많고, 비영인 시간 평균 행렬 요소를 가진 근접 공진항이 많이 존재함을 보여주는 것.
• 비대칭항의 지수적 수의 기여가 고려되지 않아 분산의 지수적 감소가 정당화되지 않음을 주장하는 것.
• Reimann의 증명에서 요구하는 두 조건—초기 에너지 분포가 넓게 퍼져 있고 관측 가능량의 범위가 유계여야 한다—는 추가적인 제약 조건 없이 평형을 보장하지 못함을 명확히 하는 것.

제안 방법

• Reimann의 식 (11)에서 시간 평균 분산 표현식 $\sigma_A^2 = \overline{[\text{Tr}(\rho(t)A) - \text{Tr}(\rho_{\text{eq}}A)]^2}$ 을 분석하며, 위상 인자 $\overline{e^{i(E_j - E_k + E_m - E_n)t}}$ 에 초점을 맞춘다.
• 핵심 오류를 규명: Reimann는 시간 평균에서 $j=n$ 이고 $k=m$ 인 항들만 살아남는다고 가정하며, 나머지 모든 항들을 무시한다.
• 이차형 해밀토니안(예: 상호작용이 없는 준입자 포함)의 경우, 조건 $E_j - E_k + E_m - E_n = 0$ 이 $j_i + m_i = k_i + n_i$ 를 통해 지수적으로 많은 비대칭 해를 가짐을 보여준다.
• 일반적인 다체계에서 에너지 스펙트럼은 지수적으로 농축되어 있어, 유한한 시간 창 $T$ 에서도 $|E_j - E_k + E_m - E_n| < \epsilon \sim 1/T$ 를 만족하는 비대칭 항이 지수적으로 많음을 보여준다.
• 이러한 에너지 차이를 해결하기 위해서는 우주의 나이를 훨씬 초월하는 시간 척도가 필요하므로, 이러한 시간 평균은 현실적인 시스템에 대해 물리적으로 의미가 없다고 주장한다.
• 결론적으로, $\sigma_A^2$ 의 감소가 $\sum_n \rho_{nn}^2(0)$ 에 의해 지수적으로 작아진다고 주장하는 것은 이러한 공진항을 생략한 잘못된 단순화의 산물이며, 실험적으로 현실적인 조건 하에서는 성립하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고립된 양자 다체계에서 관측 가능량의 시간 평균 분산이 Reimann의 두 조건 하에서 진정으로 지수적으로 0이 되는가?
• RQ2 실험적으로 현실적인 다체계에서 시간 평균 분산 표현식의 비대칭항($j \neq n$ 또는 $k \neq m$)은 무시할 만큼 작다 할 수 있는가?
• RQ3 에너지 스펙트럼의 지수적 밀도를 고려할 때, 유한한 시간 평균으로는 스펙트럼을 해상할 수 있는가?
• RQ4 비대칭항에 대해 $\overline{e^{i(E_j - E_k + E_m - E_n)t}}$ 가 0이 된다는 가정이 실험적으로 현실적인 조건 하에서 타당한가?
• RQ5 모든 공진항을 정확히 고려할 경우 Reimann의 증명에서 주장하는 분산의 지수적 감소는 유지되는가?

주요 결과

• Reimann(2008)의 식 (1) 증명은 시간 평균 분산 표현식에서 지수적으로 많은 비대칭항을 정당하지 않게 생략함으로써 결함이 있음.
• 이차형 해밀토니안의 경우, 조건 $E_j - E_k + E_m - E_n = 0$ 은 대각항 $j=n, k=m$ 외에도 $j_i + m_i = k_i + n_i$ 와 같은 지수적으로 많은 비대칭 해를 가짐.
• 일반적인 다체계에서 에너지 스펙트럼은 지수적으로 농축되어 있어, 유한한 시간 창 $T$ 에서도 $|E_j - E_k + E_m - E_n| < \epsilon \sim 1/T$ 를 만족하는 근접 공진항이 지수적으로 많다.
• 이러한 근접 공진항들은 시간 평균에 비영인 기여를 하므로, 오직 대각항만 기여한다는 가정이 무효화됨.
• 수백 개의 입자를 가진 시스템에서는 에너지 차이를 해상하기 위한 시간 척도가 우주의 나이를 훨씬 초월하므로, 시간 평균은 실질적으로 물리적으로 의미가 없어진다.
• 따라서 $\sigma_A^2$ 의 $\sum_n \rho_{nn}^2(0)$ 에 의한 지수적 감소는 잘못된 단순화의 산물이며, 실험적으로 현실적인 조건 하에서는 성립하지 않는다.