[논문 리뷰] Comment on `Non-existence of the Luttinger-Ward functional and misleading convergence of skeleton diagrammatic series for Hubbard-like models'

R. Eder|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 24.

Quantum many-body systems인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Kozik 등이 Hubbard 유사 모델에서 Luttinger-Ward 함수가 존재하지 않는다고 결론 내린 것을 도전한다. 물리적으로 타당한 $ G_0^{-1}(u) $의 해석적 성질을 가정할 경우, 자기에너지 $ \Sigma(u) $와 비상호작용 Green의 함수 $ G_0(u) $는 정확한 $ G(u) $에 의해 유일하게 결정되며, 이는 Kozik 등이 수치적 해법에서 비해석적 $ G_0^{-1} $로 인해 발생한 결과의 명백한 모순을 해결한다.

ABSTRACT

The known analytical properties of the Green's function and self-energy rule out an ambiguity of the self-energy. The noninteracting Green's functions obtained by Kozik et al. in arXiv:1407.5687 likely have pathological properties.

연구 동기 및 목표

• Kozik 등이 $ G $ 에서 $ G_0 $ 와 $ \Sigma $ 를 재구성할 때의 비유일성으로 인해 Luttinger-Ward 함수가 존재하지 않는다고 결론 내린 것을 도전하기 위해.
• Kozik 등의 수치적 해법에서 비해석적 $ G_0^{-1} $ 로 인해 발생하는 $ \Sigma $ 의 명백한 모순이 본질적인 비유일성 때문이 아니라는 것을 보여주기 위해.
• 물리적으로 타당한 해석적 $ G_0^{-1} $ 를 가정할 경우, 알려진 해석적 구조를 통해 $ G $ 를 통해 $ \Sigma $ 와 $ G_0 $ 가 유일하게 결정된다는 것을 확립하기 위해.
• Kozik 등의 작업에서 관찰된 skeleton 도형적 급수의 오해를 불러일으키는 수렴 현상을, 이미 Hubbard 밴드를 포함한 near-fully-interacting $ G_0 $ 를 사용한 결과로 설명하기 위해.
• 이러한 near-interacting $ G_0 $ 에서 유도된 자기에너지가 반드시 작을 것이며, 이로 인해 작은 보정에 대한 수렴이 오해를 불러일으키게 된다는 점을 명확히 하기 위해.

제안 방법

• Lehmann 표현에서 $ G(\nu) $ 와 $ \Sigma(\nu) $ 의 해석적 구조를 유도하여, $ G(\nu) $ 가 양의 잔여를 가진 단순극을 가지며, $ \Sigma(\nu) = \eta + \sum_i \sigma_i / (\nu - \zeta_i) $ 의 형태를 가지며, 실수 $ \eta $, $ \sigma_i > 0 $, 실수 $ \zeta_i $ 를 가짐을 보여준다.
• Dyson 식 $ G^{-1} = G_0^{-1} - \Sigma $ 와 $ G_0^{-1} $ 의 해석성 조건을 사용하여, $ G $ 의 극 $ \zeta_i $ 와 기울기 $ dG/d\nu|_{\nu=\zeta_i} $ 가 $ \sigma_i $ 와 $ \eta $ 를 유일하게 결정함을 보여준다.
• 만약 $ G_0^{-1} $ 가 해석적이라면, $ \Sigma $ 는 $ G $ 의 영점인 $ \zeta_i $ 에서 발산해야 하며, $ \Sigma $ 의 극의 수는 $ G $ 의 극 수보다 정확히 하나 적다는 것을 보여준다.
• $ \nu = \zeta_i $ 근처에서 $ G_0^{-1} $ 의 행동을 분석하여, $ G_0^{-1} \sim -\sigma_i / (\nu - \zeta_i) + c_0 + \cdots $ 라는 표현을 유도하고, 이는 $ dG/d\nu|_{\nu=\zeta_i} = -1/\sigma_i $ 를 의미함을 보여, $ \sigma_i $ 가 $ G $ 에 의해 고정됨을 밝힌다.
• $ \Sigma(\nu) $ 에서의 해리-포크 이동 $ \eta $ 는 $ G $ 에 의해 유일하게 결정되며, 이는 자기에너지에 대한 임의성의 여지를 제거한다.
• Kozik 등의 수치적 결과를 분석하여, 그들의 비물리적 해법이 $ G_0^{-1} $ 의 해석성 위반을 보이며, $ \nu \to 0 $ 에서 $ \Sigma $ 가 발산하지 않는 것으로 나타남을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Kozik 등이 주장한 것처럼, $ G $ 에서 $ G_0 $ 와 $ \Sigma $ 를 재구성할 때의 비유일성으로 인해 Luttinger-Ward 함수가 존재하지 않는가?
• RQ2 물리적으로 타당한 가정 하에 정확한 Green의 함수 $ G $ 에서 자기에너지 $ \Sigma $ 는 유일하게 결정될 수 있는가?
• RQ3 $ G_0^{-1} $ 의 해석성이 $ \Sigma $ 와 $ G_0 $ 의 유일성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 Kozik 등의 반복적 재구성 방법이 동일한 $ G $ 에 대해 여러 개의 $ (G_0, \Sigma) $ 쌍을 도출하는 이유는 무엇이며, 이는 본질적인 문제인지 수치적 오류인가?
• RQ5 수치적 해법에서 near-fully-interacting $ G_0 $ 를 사용할 경우, skeleton 도형적 급수의 오해를 불러일으키는 수렴 현상은 어떻게 설명될 수 있는가?

주요 결과

• 해석적 $ G_0^{-1} $ 를 가정할 경우, 자기에너지 $ \Sigma $ 는 정확한 $ G $ 에 의해 유일하게 결정되며, $ G $ 의 영점에 극을 가지며, 그 잔여는 해당 점에서의 $ G $ 의 기울기로 고정된다.
• $ \Sigma(\nu) $ 에서의 덧셈 상수 $ \eta $ 는 해리-포크 포텐셜을 나타내며, $ G $ 에 의해 유일하게 결정되어 자기에너지에 대한 임의성이 제거된다.
• Kozik 등의 수치적 해법은 비해석적 $ G_0^{-1} $ 를 반영하며, $ \nu \to 0 $ 에서 $ \Sigma $ 가 발산하지 않는 것으로 나타나, 기대되는 해석적 구조와 위반됨을 입증한다.
• Kozik 등이 발견한 비물리적 해법은 정확한 상호작용 Green의 함수, 즉 Hubbard 밴드를 포함한 $ G_0 $ 를 사용한 것으로 보이며, 이는 자기에너지 보정이 작고, 따라서 도형적 급수에서 수렴이 오해를 불러일으키게 한다.
• near-interacting $ G_0 $ 에서 QMC로 유도된 자기에너지와 저차수 skeleton 전개로 얻어진 자기에너지 사이의 유사성은 놀라운 일이 아니며, 둘 다 정확한 함수에 매우 가까운 Green의 함수에 대해 작은 보정을 제공하기 때문이다.
• Kozik 등이 보고한 skeleton 급수의 오해를 불러일으키는 수렴 현상은 그들의 입력인 $ G_0 $ 가 이미 주요 물리적 메커니즘(즉, Hubbard 밴드)을 포함하고 있기 때문에 발생하며, 이로 인해 자기에너지가 작은 보정이 되어, 기능형이 잘못되었음에도 불구하고 수렴이 가능하게 보이는 것이다.