[논문 리뷰] Comment on the Hojman conservation quantities in Cosmology

Andronikos Paliathanasis, P. G. L. Leach|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 29.

Cosmology and Gravitation Theories인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 우주론에서 스칼라 장 모델에 대해 호지만의 방법을 이용한 보존법칙 유도에 대한 비판을 제기한다. 특히 ϕ(t) = ϕ(a(t))의 앵상(Ansatz)을 적용함으로써, 유도된 호지만 보존량이 자유 입자의 노터 에너지 보존법칙으로 축소됨을 보여주며, 이는 이 방법이 새로운 물리적 제약를 도출하지 못하고, 해밀턴 체계에서 일반화된 변환 하의 노터 정리와 동치임을 드러낸다.

ABSTRACT

We comment upon the application of Hojman's method for the determination of conservation laws in Cosmology, which has been introduced by Capozziello \& Roshan (Phys. Lett. B 726 (2013) 471 (arXiv:1308.3910)), and has been applied recently in the cosmological scenario of a nonminimally coupled scalar field by Paolella \& Capozziello (Phys. Lett. A (2015), in press (arXiv:1503.00098)). We apply the Ansatz, $ϕ\left( t ight) =ϕ\left( a\left( t ight) ight) $, which was introduced by the cited authors for a minimally-coupled scalar field, and we study the Lie and Noether point symmetries for the reduced equation. We show that under this Ansatz the unknown function of the model cannot be constrained by the requirement of the existence of a conservation law and that the Hojman conservation quantity which arises for the reduced equation is nothing more than the functional form of the Noether conservation law of momentum for the free particle. Finally we show that Hojman's method for Hamiltonian systems, in which the Hamiltonian function is one of the involved equations of the system, is equivalent with the application of Noether's Theorem for generalized transformations.

연구 동기 및 목표

• 스칼라 장을 포함한 우주론적 모델 내에서 호지만의 방법이 보존법칙을 유도하는 데 있어 타당성과 물리적 의미를 검토하는 것.
• 이전 연구에서 사용된 앵상 ϕ(t) = ϕ(a(t))가 보존법칙을 통해 모델의 함수 형태에 진정으로 제약를 가하는지 평가하는 것.
• 해밀턴 체계에서 호지만의 방법과 노터 정리 사이의 관계를 조사하는 것.
• 호지만의 방법을 통해 도출된 보존량이 새로운 물리적 통찰을 제공하는지, 아니면 기존의 알려진 노터 대칭성과 수학적으로 동치인지 판단하는 것.

제안 방법

• 저자들은 비최소 결합된 스칼라 장의 운동 방정식을 단순화하기 위해 앵상 ϕ(t) = ϕ(a(t))를 적용한다.
• 단순화된 두 번째 차수 미분방정식의 리에 및 노터 점 대칭성을 분석한다.
• 단순화된 방정식에서 유도된 호지만 보존량과 자유 입자에 대한 노터 보존법칙을 비교한다.
• 시스템의 해밀턴 형식을 검토하여 해밀턴량이 시스템의 방정식 중 하나임을 확인한다.
• 해밀턴 체계에서 일반화된 변환 하에 호지만의 방법과 노터 정리 사이의 동치성을 확립한다.
• 대칭성 축소와 함수 형태 비교에 기반하여 도출된 보존법칙의 물리적 내용을 판단한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 앵상 ϕ(t) = ϕ(a(t))가 호지만의 보존법칙을 통해 스칼라 장 모델에 물리적으로 의미 있는 제약를 가하는가?
• RQ2 단순화된 방정식에서 유도된 호지만 보존량은 진정으로 새로운가, 아니면 기존의 알려진 보존법칙과 동치인가?
• RQ3 해밀턴 체계에서 호지만의 방법은 일반화된 변환 하의 노터 정리의 특수한 경우로 해석될 수 있는가?
• RQ4 단순화된 우주론적 모델에서 호지만 보존량의 함수 형태는 무엇인가?
• RQ5 이 앵상 하에서 보존법칙의 존재가 스칼라 장의 포텐셜 또는 결합 함수를 유일하게 결정하는가?

주요 결과

• 단순화된 방정식에서 유도된 호지만 보존량은 자유 입자 시스템에서의 노터 운동량 보존법칙과 수학적으로 동치이다.
• 앵상 ϕ(t) = ϕ(a(t))는 보존법칙의 존재를 통해 모델의 미지 함수에 대해 제약를 가지지 않는다.
• 해밀턴 체계에서 해밀턴량이 시스템의 방정식 중 하나인 경우, 호지만의 방법이 일반화된 변환 하에서 노터 정리를 적용하는 것과 동치임을 입증하였다.
• 호지만의 방법을 통해 도출된 보존법칙은 단순히 기존의 노터 대칭성에 의해 이미 암시되는 바를 초월하여 새로운 물리적 통찰을 제공하지 못한다.
• 보존량의 함수 형태는 스칼라 장의 구체적 역학과는 무관하며, 자유 입자의 기저 대칭성에 의해 반영된다.
• 본 연구는 이 맥락에서 호지만의 방법이 노터 정리에 의해 이미 암시되는 바를 초월하여 독립적 또는 새로운 보존법칙을 도출하지 못함을 결론으로 내린다.