[논문 리뷰] Comments on the height reducing property

Shigeki Akiyama, Toufik Zaı̈mi|arXiv (Cornell University)|2012. 05. 06.

semigroups and automata theory참고 문헌 22인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 대수적 수의 높이 감소 성질을 조사하며, 모든 공액수가 단위 원 위에 있거나 모두 1보다 큰 모듈러스를 가진 복소수는 특정한 곱셈적 종속 조건 하에서 이 성질을 만족함을 증명한다. 이 성질은 곱셈적으로 독립인 공액수의 수가 deg(α)/2 − 1 이상 또는 정확히 1일 경우에 성립하며, LLL 감소를 이용한 알고리즘적 방법을 통해 이러한 종속성을 계산할 수 있고, degree 16까지 광범위한 계산적 검증을 수행하였다.

ABSTRACT

A complex number alpha is said to satisfy the height reducing property if there is a finite subset F of the ring Z of the rational integers such that Z[alpha]=F[alpha]. This problem of finding F has been considered by several authors, especially in contexts related to self affine tilings, and expansions of real numbers in non-integer bases. We continue, in this note, the description of the numbers satisfying the height reducing property, and we specify a related characterization of the roots of integer polynomials with dominant term.

연구 동기 및 목표

• 모든 공액수가 단위 원 위에 있거나 모두 1보다 큰 모듈러스를 갖는 복소수 α ∈ ℂ 에 대해 ℤ[α] = F[α] 를 만족하는 유한부분집합 F ⊂ ℤ 가 존재하는지 조사하는 것, 이를 높이 감소 성질이라 한다.
• 모든 공액수가 단위 원 위에 있는 대수적 수가 높이 감소 성질을 만족하는 충분한 조건을 규명하는 것.
• LLL 알고리즘을 활용한 알고리즘을 개발하고 적용하여, 곱셈적으로 독립인 공액수의 수 m(α) 를 계산함으로써 높이 감소 성질의 검증을 가능하게 하는 것.
• 계수의 높이 h ≤ 50 인 경우, degree 16 이하의 대수적 수에 대해 높이 감소 성질이 성립하는지 조사하며, 특히 m(α) < deg(α)/2 인 경우에 초점을 맞추는 것.

제안 방법

• 유한부분집합 F ⊂ ℤ 에 대해 ℤ[α] = F[α] 를 만족하는 성질을 높이 감소 성질로 정의하고, 대수적 정수와 원분의 성질에 미치는 영향을 분석한다.
• 크로네커의 정리와 역다항식의 성질을 활용하여 단위 원 위의 공액수를 분석한다.
• 공액수의 곱셈적 독립성 개념을 도입하고, m(α) 를 곱셈적으로 독립인 공액수의 최대 개수로 정의한다.
• de Weger [4]의 보조정리 3.7을 LLL 알고리즘과 결합하여 m(α) 를 효율적으로 유계화하고 계산함으로써, Waldschmidt [12]의 지수적 상한을 초월한다.
• 제한된 degree d, leading coefficient c, coefficient height h 를 갖는 모닉 정수다항식을 체계적으로 열거하여 반례를 탐색한다.
• 선별 기법을 사용하여 모든 근이 단위 원 위에 있는 다항식을 걸러내고, 추가로 기약성, 원시성, 거듭제곱으로 분해 불가능한 형태를 필터링한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 공액수가 단위 원 위에 있는 대수적 수 α 가 높이 감소 성질을 만족하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 모든 공액수가 단위 원 위에 있는 degree ≤ 6 인 대수적 수에 대해 높이 감소 성질이 성립하는가?
• RQ3 m(α) = deg(α)/2 − 1, deg(α)/2 − 2, 또는 deg(α)/2 − 3 인 대수적 수에 대해 높이 감소 성질을 증명할 수 있는가?
• RQ4 높이 감소 성질을 만족하지 않는 단위 원 위의 공액수를 갖는 대수적 수가 존재하는가? 만약 존재한다면, 그러한 반례의 최소 degree 는 얼마인가?
• RQ5 LLL 알고리즘이 고차수의 경우에 대해 m(α) 를 효과적으로 계산하고 높이 감소 성질을 검증하는 데 사용될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 공액수가 모듈러스 1 또는 1보다 큰 값을 갖는 대수적 수 α 에 대해, m(α) ≥ deg(α)/2 − 1 이거나 m(α) = 1 이면 높이 감소 성질이 성립한다.
• 모든 degree ≤ 6 이며 공액수가 단위 원 위에 있는 대수적 수에 대해 높이 감소 성질이 성립하며, m(α) ≤ deg(α)/2 − 1 인 것은 불가능하다.
• degree 6, leading coefficient 2, coefficient height 50 인 다항식 1,030,301개 중 287개는 모든 근이 단위 원 위에 있으며, 이들 모두가 높이 감소 성질을 만족한다.
• degree 12 에서는 m(α) = deg(α)/2 − 2 인 다항식 4개와 m(α) = deg(α)/2 − 3 인 다항식 2개를 발견하였으며, 첫 번째 경우는 부등식계의 해를 구함으로써 높이 감소 성질이 증명되었다.
• degree 16 에서는 m(α) = deg(α)/2 − 3 인 다항식 1개를 발견하였지만, 이 경우에 대해선 높이 감소 성질이 아직 증명되지 않았다.
• degree 16 까지의 검색에서, 단위 원 위의 공액수를 갖는 다항식들 중 높이 감소 성질에 어긋나는 반례는 발견되지 않았으며, 이는 이 클래스에서 성질이 일반적으로 성립할 가능성이 있음을 시사한다.