[논문 리뷰] Common fixed point theorems for occasionally weakly compatible maps

Hakima Bouhadjera, Christiane Godet-Thobie|ArXiv.org|2008. 12. 19.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 22인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 메트릭 공간에서 한 쌍의 자주 약한 호환성(owc) 단일 및 다중값 맵에 대해 엄격한 수축 조건을 포함하는 암묵적 관계의 클래스를 사용하여 새로운 공통 고정점 정리들을 수립한다. 핵심 기여는 Aliouche, Bouhadjera, Popa, Djoudi와 Nisse, Pathak 등과 Elamrani와 Mehdaoui의 기존 결과들을 일반화하고 확장하는 통합 프레임워크를 제공하는 것으로, 미약한 연속성과 호환성 조건 하에서 공통 고정점의 존재성과 유일성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we establish a common fixed point theorem for two pairs of occasionally weakly compatible single and set-valued maps satisfying a strict contractive condition in a metric space. Our result extends many results existing in the literature as those of Aliouche and Popa [15-20]. Also we establish another common fixed point theorem for four owc single and set-valued maps of Gregu% š type which generalizes the results of Djoudi and Nisse, Pathak, Cho, Kang and Madharia and we end our work by giving a third theorem which extends the results given by Elamrani & Mehdaoui and Mbarki.

연구 동기 및 목표

• 메트릭 공간에서 자주 약한 호환성 맵에 대한 기존 공통 고정점 정리를 통합하고 확장하는 것.
• Aliouche, Bouhadjera, Popa, Djoudi와 Nisse, 그리고 Pathak 등이 제시한 결과들을 엄격한 수축 암묵적 관계를 통해 일반화하는 것.
• Greguš 유형의 네 개의 owc 맵에 대한 공통 고정점 정리를 수립하여 이전 문헌의 결과를 향상시키는 것.
• Elamrani와 Mehdaoui, 그리고 Mbarki의 결과를 일반화하기 위해 더 넓은 암묵적 관계의 클래스를 도입하는 것.
• 최소한의 연속성과 호환성 가정 하에서 공통 고정점의 존재성과 유일성을 증명하는 것.

제안 방법

• Φ(t)=0이면 t=0인 비감소 함수 Φ를 사용한 엄격한 수축 조건을 도입한다.
• 모든 t>0에 대해 α(t)+β(t)+γ(t)<1을 만족하는 함수 α, β, γ: [0,∞[ → [0,1[ 을 포함하는 암묵적 관계를 적용한다.
• f와 F가 그들의 일치점에서 양측성 확률로 교환 가능할 때를 의미하는 자주 약한 호환성(owc) 맵의 개념을 사용한다.
• 유계 닫힘 부분집합의 공간에서 다중값 맵을 다루기 위해 하우스도르프 거리 H와 δ-거리 사용.
• Φ의 성질과 수축 부등식을 바탕으로 모순을 이용하여 d(fu,gv)=0 및 f²u=fu를 증명한다.
• 두 번째 공통 고정점 w′이 존재한다고 가정하고 엄격한 부등식 조건을 통해 모순을 도출함으로써 유일성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자주 약한 호환성 맵에 대한 공통 고정점 정리를 엄격한 수축 조건을 사용하여 존재하는 프레임워크를 초월해 일반화할 수 있는가?
• RQ2 합이 1보다 작은 함수 α, β, γ를 포함하는 암묵적 관계는 공통 고정점의 존재성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 Djoudi와 Nisse, Pathak 등이 제시한 결과들은 어느 정도까지 통합되고 확장될 수 있는가?
• RQ4 자주 약한 호환성 조건은 전체 연속성을 요구하지 않고도 고정점 존재성을 보장하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 제안된 수축 조건 하에서 공통 고정점의 유일성은 증명될 수 있는가?

주요 결과

• {f,F}와 {g,G} 쌍은 자주 약한 호환성이고 암묵적 수축 조건 (3.7)을 만족할 경우 X에서 유일한 공통 고정점을 가진다.
• 모순을 이용하여 d(fu,gv)=0을 증명하며, α(t)+β(t)+γ(t)<1의 엄격한 부등식과 Φ의 성질을 활용한다.
• f²u=fu 및 g²v=gv임을 증명함으로써, 공통 값 w=fu=gv는 f, g, F, G의 고정점임을 의미한다.
• 두 번째 공통 고정점 w′이 존재한다고 가정하고 Φ(d(w,w′))<Φ(d(w,w′))를 도출함으로써 모순을 유도함으로써 유일성을 증명한다.
• 이 결과는 Aliouche, Bouhadjera, Popa, Djoudi와 Nisse, Pathak 등, Elamrani와 Mehdaoui, 그리고 Mbarki의 이전 정리들을 일반화하고 개선한다.
• 부등식 (3.7)의 수정된 형태를 사용할 경우, 합 대신 max{Φ(d(fx,Gy)), Φ(d(gy,Gy))}를 사용하여도 정리가 그대로 성립한다.