[논문 리뷰] Common fixed points for three or four mappings via common fixed point for two mappings

Cristina Di Bari, Pasquale Vetro|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 15.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공리의 선택을 사용한 집합론적 선택을 통해 문제를 부분집합 위의 단사 사상으로 환원함으로써, 일반적으로 사용되는 세 개 또는 네 개의 사상에 대한 고정점 결과가 두 사상에 대한 결과로부터 유도될 수 있음을 보여준다. 핵심 기여는 일반화된 Berinde 유형의 수축 조건 하에서 복잡한 다중 사상 고정점 정리가 완비 거리공간에서 약한 호환성 조건 하에 더 단순한 두 사상의 경우로 환원됨을 보여주는 통합적 프레임워크를 제공하는 것이다. 이는 고정점의 존재성과 유일성을 보장한다.

ABSTRACT

In this paper, we shall show that some coincidence point and common fixed point results for three or four mappings could easily be obtained from the corresponding fixed point results for two mappings.

연구 동기 및 목표

• 세 개 또는 네 개의 사상에 대한 공통 고정점 정리를 두 사상에 대한 결과로부터 유도할 수 있음을 보이는 것.
• 집합 선택을 통한 다중 사상 문제의 환원을 통해 기존 고정점 정리를 일반화하는 것.
• 네 개의 매개수와 비음수 매개수 L을 포함하는 일반화된 수축 조건 하에서 공통 고정점의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 약한 호환성과 완비성 가정을 활용하여 고정점 이론의 적용 가능성을 다중 사상 시스템으로 확장하는 것.

제안 방법

• Haghi 등의 Lemma 1을 사용하여 fE = fX를 만족하는 부분집합 E ⊂ X를 선택하고, f: E → X 가 단사가 되도록 하여 fE 위의 새로운 자기사상의 구성이 가능하도록 한다.
• g(fx) = Sx 및 h(fx) = Tx로 정의된 새로운 사상 g와 h를 fE 위에 정의함으로써 세 사상 문제를 완비 부분공간 위의 두 사상 문제로 변환한다.
• Theorem 1을 적용하여 α, β, γ, δ, L을 포함하는 Berinde 유형 수축 조건을 만족하는 두 자기사상 S와 T에 대해 공통 고정점을 확보한다. 여기서 α+β+γ+2δ < 1 이다.
• 약한 호환성 조건 (S,f) 및 (T,f)를 이용하여 Lemma 2를 통해 점의 일치점이 고정점이 되도록 보장한다.
• 네 사상으로의 확장은 두 개의 제어 사상 f와 g를 도입함으로써 이루어지며, S와 T가 fX = gX에 사상하도록 하고, fE 위에 사상 A와 B를 구성한다.
• fE 위에서 A와 B의 공통 고정점이 약한 호환성과 완비성 조건 하에 S, T, f, g의 유일한 공통 고정점과 대응됨을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 집합론적 선택을 통해 세 개 또는 네 개의 사상에 대한 공통 고정점 결과를 두 사상의 경우로 환원할 수 있는가?
• RQ2 약한 호환성 하에서 세 사상에 대해 유일한 공통 고정점의 존재를 보장하는 수축 조건은 무엇인가?
• RQ3 Lemma 1을 통한 Axiom of Choice의 사용이 다중 사상 고정점 문제를 두 사상 문제로 환원시키는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 fX의 완비성이 수렴성과 고정점의 유일성 보장에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 사상들이 약하게 호환될 때, 유일한 점의 일치점이 공통 고정점이 되는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 매개수 α+β+γ+2δ < 1 과 L ≥ 0 조건을 만족하는 일반화된 Berinde 유형 수축 조건 하에서, SX 또는 TX 가 완비일 경우 두 사상 S와 T의 공통 고정점은 존재하고 유일하다.
• 세 사상 S, T, f에 대해 fX 가 완비이고, (S,f)와 (T,f)가 약한 호환성일 경우, 그리고 조건 (2)가 성립할 경우 유일한 공통 고정점이 존재한다.
• 네 사상 S, T, f, g에 대해 fX 가 완비이고, (S,f)와 (T,g)가 약한 호환성일 경우, 그리고 조건 (4)가 성립할 경우 유일한 공통 고정점이 존재한다.
• 조건 (5) 하에서 S, T, f의 점의 일치점은 유일하며, 약한 호환성으로 인해 공통 고정점이 된다.
• 조건 (6) 하에서 S, T, f, g의 점의 일치점은 유일하며, 약한 호환성으로 인해 공통 고정점이 된다.
• Lemma 1을 통한 환원 방법은 세 개 또는 네 개의 사상에 대한 모든 결과가 두 사상의 경우로부터 직접 유도됨을 보장하여 증명을 단순화하고 기존 정리를 일반화한다.