[논문 리뷰] Community Detection Based on the $L_\infty$ convergence of eigenvectors in DCBM

Yan Liu, Zhiqiang Hou외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 16.

Complex Network Analysis Techniques참고 문헌 33인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 degree-corrected stochastic block model (DCBM) 하에서 인접행렬의 고유벡터에 대한 $L_\infty$ 수렴 속도를 확립하며, 거의 확실한 수렴 속도 $o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$ 를 증명한다. 새로운 스펙트럴 클러스터링 방법인 SCDRE를 제안하며, 고유벡터 성분의 비율에 기반하여 일致된 커뮤니티 탐지 성능을 달성하고 시뮬레이션에서 기존 방법들을 능가한다.

ABSTRACT

Spectral clustering is one of the most popular algorithms for community detection in network analysis. Based on this rationale, in this paper we give the convergence rate of eigenvectors for the adjacency matrix in the $l_\infty$ norm, under the stochastic block model (BM) and degree corrected stochastic block model (DCBM), adding some mild and rational conditions. We also extend this result to a more general model, presented based on the DCBM such that the value of random variables in the adjacency matrix is not 0 or 1, but an arbitrary real number. During the process of proving the above conclusion, we obtain the relationship of the eigenvalues in the adjacency matrix and the corresponding `population' matrix, which vary in dimension from the community-wise edge probability matrix. Using that result, we can give an estimate of the number of the communities in a known set of network data. Meanwhile we proved the consistency of the estimator. Furthermore, according to the derivation of proof for the convergence of eigenvectors, we propose a new approach to community detection -- Spectral Clustering based on Difference of Ratios of Eigenvectors (SCDRE). Our simulation experiments demonstrate the superiority of our method in community detection.

연구 동기 및 목표

• DCBM 하에서 인접행렬의 고유벡터에 대한 거의 확실한 $L_\infty$ 수렴 속도를 확립하는 것.
• DCBM 프레임워크 내에서 인접행렬의 고유값과 해당 인구행렬의 고유값 간의 관계를 유도하는 것.
• 고유벡터 성분의 비율에 기반한 새로운 커뮤니티 탐지 방법인 SCDRE를 개발하는 것.
• 고유값과 고유벡터 간의 관계를 이용하여 커뮤니티 수의 일致 추정량을 제공하는 것.
• 인접행렬 원소가 0 또는 1이 아닌 임의의 실수일 수 있는 일반화된 모델으로 이론적 결과를 확장하는 것.

제안 방법

• 랜덤 행렬 이론과 위그너 행렬 결과를 활용하여 $L_\infty$ 노름에서 고유벡터 수렴을 분석한다.
• 약한 조건 하에서 주요 고유벡터에 대해 $\|U_t - Q_t T_t\|_\infty = o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$ 의 수렴 속도를 도출한다.
• 고유벡터 성분의 비율을 사용하는 스펙트럴 클러스터링 기반의 차이 비율 고유벡터(Spectral Clustering based on Difference of Ratios of Eigenvectors, SCDRE) 방법을 도입한다.
• 인구행렬의 고유값 및 고유벡터 구조를 통해 커뮤니티 수 추정량의 일관성을 확립한다.
• 인접행렬 원소가 0–1에 국한되지 않은 임의의 실수일 수 있는 일반화된 모델로 이론적 결과를 확장한다.
• 에이전시의 편차를 $L_\infty$ 노름에서 유계로 제한하기 위해 Davis–Kahan 정리와 직교 분해 기법을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 DCBM 하에서 인접행렬의 고유벡터에 대한 거의 확실한 $L_\infty$ 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 DCBM에서 인접행렬의 고유값과 고유벡터는 인구행렬의 고유값과 고유벡터와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 고유벡터 성분의 비율을 사용하여 네트워크의 커뮤니티 수를 일관되게 추정할 수 있는가?
• RQ4 제안된 SCDRE 방법은 기존 스펙트럴 클러스터링 방법보다 더 뛰어난 커뮤니티 탐지 성능을 달성하는가?
• RQ5 이론적 수렴 결과는 인접행렬 원소가 0 또는 1이 아닌 임의의 실수일 수 있는 일반화된 모델로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• DCBM 하에서 인접행렬의 고유벡터는 인구행렬의 고유벡터로 $L_\infty$ 노름에서 $o_{a.s.}(n^{-1}\log n)$ 의 속도로 수렴한다.
• 제안된 SCDRE 방법은 기준 스펙트럴 클러스터링 대비 시뮬레이션 실험에서 뛰어난 커뮤니티 탐지 성능을 보인다.
• 인접행렬과 인구행렬의 고유값 및 고유벡터 간의 관계를 이용하여 커뮤니티 수를 일관되게 추정할 수 있다.
• 노드 $i$와 $j$가 같은 커뮤니티에 있을 경우에만 고유벡터 비율 $RR_\zeta(i,j)$ 가 1이 되며, 다른 커뮤니티에 있을 경우 모순이 발생함을 보였다.
• 약한 규칙성 조건 하에서 DCBM에서 커뮤니티 수 추정량의 이론적 일관성이 입증되었다.
• 인접행렬 원소가 0 또는 1에 국한되지 않은 임의의 실수일 수 있는 일반화된 모델로 수렴 결과가 확장되었다.